2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空

-1-3.1.3空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b□05互相垂直，记作□06a⊥b.2．空间向量的数量积定义□07已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作□08a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝□09λ(a·b)交换律a·b＝□10b·a分配律a·(b＋c)＝□11a·b＋a·c两个向量数量积的性质：(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔□12a·b＝0；(2)若a与b同向，则a·b＝□13|a||b|；若反向，则a·b＝□14－|a||b|；特别地：a·a＝|a|2或□15|a|＝a·a；(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝□16a·b|a||b|；-2-(4)|a·b|□17≤|a||b|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．()(2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.()(3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()(4)在△ABC中，〈AB→，BC→〉＝∠B.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)(教材改编P92T3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则a2等于()A．2BA→·AC→B．2AD→·BD→C．2FG→·CA→D．2EF→·BC→(2)若向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则a·b＝________.(3)已知|a|＝2，|b|＝22，a·b＝－22，则a与b的夹角为________．(4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则cos〈a，b〉＝________.答案(1)B(2)1(3)135°(4)18解析(1)∵AD→与BD→的夹角为60°，|AD→|＝|BD→|＝a，∴2AD→·BD→＝2|AD→||BD→|cos60°＝2×a×a×12＝a2.探究1求向量的数量积例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：-3-(1)EF→·BA→；(2)EF→·BD→；(3)EF→·DC→；(4)BF→·CE→.[解](1)EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12×1×1×cos60°＝14.(2)EF→·BD→＝12|BD→||BD→|cos〈BD→，BD→〉＝12×1×1×cos0°＝12.(3)EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD→||DC→|cos〈BD→，DC→〉＝12×1×1×cos120°＝－14.(4)BF→·CE→＝12(BD→＋BA→)·12(CB→＋CA→)＝14[BD→·(－BC→)＋BA→·(－BC→)＋BD→·CA→＋BA→·CA→]＝14[－BD→·BC→－BA→·BC→＋(CD→－CB→)·CA→＋AB→·AC→]＝14×－12－12＋12－12＋12＝－18.拓展提升1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．【跟踪训练1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积：-4-(1)BD→·AA1→；(2)AE→·AC→；(3)EO→·AC→.解设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝1，|b|＝2，(1)∵BD→＝AD→－AB→＝b－a，∴BD→·AA1→＝(b－a)·c＝b·c－a·c.又a，b，c两两互相垂直，∴b·c＝0，a·c＝0，故BD→·AA1→＝0.(2)∵AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋12AD→＝c＋12b，又AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，∴AE→·AC→＝c＋12b·(a＋b)＝12|b|2＝2.(3)∵EO→＝AO→－AE→＝12(AB→＋AD→)－(AA1→＋A1E→)＝12(a＋b)－c＋12b＝12a－c，又AC→＝a＋b，-5-∴EO→·AC→＝12a－c·(a＋b)＝12a2＝12.探究2利用数量积求夹角例2已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．[解]如下图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，所以OE→·BF→＝12(a＋b)·12c－b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12，所以cos〈OE→，BF→〉＝OE→·BF→|OE→||BF→|，∴〈a，b〉＝60°.