2019-2020学年高中数学 第一章 统计 1.4 数据的数字特征 1.4.1 平均数、中位数、众

-1-1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差1.4.2标准差[航向标·学习目标]1．理解平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念．2．会计算数据的平均数、标准差．3．体会用统计量表达样本数据，提高学生的学习兴趣．[读教材·自主学习]1．平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把□011n(x1＋x2＋…＋xn)叫作这n个数的算术平均数，简称平均数．2．中位数：一般地，将n个数据按大小顺序排列，处于□02最中间的一个数(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．3．众数：一组数据中□03出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数．4．极差：极差是数据的□04最大值与□05最小值的差．5．标准差：各个数据与平均数□06之差的平方的平均数，称为这组数据的方差，方差的□07算术平方根称为这组数据的标准差．[看名师·疑难剖析]1．平均数、中位数、众数刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息．平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量．2．方差、标准差n个数据x1，x2，…，x3，我们把x1＋x2＋…＋xnn记为x－，则方差可以用s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]来表示，将方差的算术平方根s＝1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2]称为标准差．刻画一组数据离散趋势的统计量有方差、标准差等．对方差和标准差的理解还要注意以下几方面：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数的波动大小．标准差、方差越大，数据离散程度越大，稳定性越差；标准差、方差越小，数据离散程度越小，稳定性越好；(2)因方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差-2-在体现数据分散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差；(3)标准差与方差的取值范围是[0，＋∞)．考点一平均数、众数、中位数的计算例1求下列一组数据的平均数、中位数、众数：10,20,80,40,30,90,50,40,50,40.[分析]明确各概念，利用定义解题．[解]这组数据的平均数为(10＋20＋80＋40＋30＋90＋50＋40＋50＋40)÷10＝45.将这组数据按从小到大的顺序排列，得10,20,30,40,40,40,50,50,80,90，所以中位数为(40＋40)÷2＝40.又因为40出现3次，出现次数最多，所以众数为40.类题通法求平均数必须先将所有数据求和，再把和除以数据的个数.求中位数时，必须将所有数据按从小到大的顺序排列后，把中间的数或中间两项的平均数称为这组数据的中位数.而众数则是出现次数最多的数据.在解答本类问题时，一定要审清题意，明确各数据出现的次数，认真计算，以防计算失误.[变式训练1](1)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.(2)在如下图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.-3-答案(1)2423(2)4546解析(1)由茎叶图可知甲的平均数为9＋8＋20＋1＋3＋2＋100＋1＋1＋5＋9010＝24，乙的平均数为9＋7＋1＋30＋1＋4＋2＋4＋80＋2＋9010＝23.(2)甲组数据从小到大排序后，最中间的数是45，即甲组数据的中位数为45；乙组数据从小到大排序后，最中间的数是46，即乙组数据的中位数是46.考点二平均数、众数、中位数的应用例2个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表：李某大厨二厨采购员杂工服务生会计3000元450元350元400元320元320元410元(1)计算所有员工8月份的平均工资；(2)由(1)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？(4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？[解](1)这7个人的8月份平均工资是x－1＝17(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)计算出的平均工资不能反映打工人员的当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于平均工资，因为这7个值中有一个极端值——李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．(3)去掉李某的工资后的平均工资x－2＝16(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，该平均工资能代表打工人员的当月收入的一般水平．(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据．类题通法本题充分说明了平均数在具体问题中的意义.-4-[变式训练2]据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．解(1)平均数是x－＝1500＋4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)平均数是x－′＝1500＋28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．考点三方差与标准差的计算例3一个样本数据的方差是s2＝120[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2＋…＋(x20－3)2]．(1)求样本的容量n及平均数x－；(2)如果样本数据的平方和为200，求样本的方差．[分析]本题主要用方差的公式进行变形求解，我们要熟练掌握公式的变形．[解](1)由样本数据方差公式可以得到样本容量n＝20，平均数x－＝3.(2)由s2＝120[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x20－3)2]＝120[(x21＋x22＋…＋x220)－6(x1＋x2＋…＋x20)＋20×9]＝120(200－360＋180)＝1.类题通法-5-解决此类问题一定要熟记公式.[变式训练3]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()A．s3s1s2B．s2s1s3C．s1s2s3D．s2s3s1答案B解析x－甲＝7＋8＋9＋10×520＝8.5，s21＝5×[7－8.52＋8－8.52＋9－8.52＋10－8.52]20＝1.25，x－乙＝7＋10×6＋8＋9×420＝8.5，s22＝6×[7－8.52＋10－8.52]＋4×[8－8.52＋9－8.52]20＝1.45，x－丙＝7＋10×4＋8＋9×620＝8.5，s23＝4×[7－8.52＋10－8.52]＋6×[8－8.52＋9－8.52]20＝1.05，由s22s21s23得s2s1s3.故选B.-6-考点四数据的数字特征的应用例4一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已经计算得到两个组成绩的平均数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，并说明理由．[分析]优次之分的标准是通过数据的各数字特征来反映．[解](1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些；(2)s2甲＝150×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172(分2)．s2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256(分2)．因为s2甲s2乙，所以甲组的成绩比乙组的成绩好．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩高于90分(含90分)的人数为14＋6＝20(人)，乙组的成绩高于90分(含90分)的人数为12＋12＝24(人)，所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度来看，乙组的成绩较好．类题通法用数据的数字特征来反映该组数据的特点，本例就是从众数、中位数、方差、高分段以及满分的人数等数字特征全方位进行综合分析、比较，并作出判断.[变式训练4]有一组数据：x1，x2，…，xn(x1x2…xn)的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9，若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11.(1)求出第一个数x1关于n的表达式及第n个数xn关于n的表达式；(2)若x1，x2，…，xn都是正整数，试求第n个数xn的最大值，并举出满足题目要求且xn-7-取到最大值的一组数据．解(1)依条件得x1＋x2＋…＋xn＝10n，①x1＋x2＋…＋xn－1＝9n－1，②x2＋x3＋…＋xn＝11n－1，③由①－②得xn＝n＋9.又由①－③得x1＝11－n.(2)由于x1是正整数．故x1＝11－n≥1⇒1≤n≤10，故xn＝n＋9≤19.当n＝10时，x1＝1，x10＝19，x2＋x3＋…＋x9＝80.此时，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝9，x6＝11，x7＝12，x8＝13，x9＝14.[例](12分)某酒厂有甲、乙两条生产线生产同一种型号的白酒，产品在自动传输带上包装传送，每15分钟抽一瓶测定其质量是否合格，分别记录抽查的数据如下(单位：毫升)：甲生产线：508,504,496,510,492,496乙生产线：515,520,480,485,497,503问：(1)这种抽样是何种抽样方法？(2)分别计算甲、乙两条生产线的平均值与标准差，并说明哪条生产线的产品较稳定．(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解(1)根据题意知，抽样是每15分钟抽一瓶，是等距抽样，所以这种抽样是系统抽样.4分(2)根据已知抽样数据可计算：x－甲＝16×(508＋504＋496＋510＋492＋496)＝501①，6分-8-∴s2甲＝16×[(508－501)2＋(504－501)2＋(496－501)2＋(510－501)2＋(492－501)2＋(496－501)2]＝45①，∴s甲＝35≈6.708.8分x－乙＝16×(515＋520＋480＋485＋497＋503)＝500①，∴s2乙＝16×[(515－500)2＋(520－500)2＋(480－500)2＋(485－500)2＋(497－500)2＋(503－500)2]≈211.3①10分∴s乙≈14.536.∴s甲s乙，甲生产线的产品较稳定②.12分(三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解过程)(四)类题练笔掌握从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm