2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空

-1-3．1.5空间向量运算的坐标表示1．空间向量运算的坐标表示运算坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)加法a＋b＝□01(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝□02(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝□03(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝□04a1b1＋a2b2＋a3b32．空间向量的平行与垂直的坐标表示平行或垂直平行或垂直条件的坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)平行(a∥b)a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，□05a3＝λb3(λ∈R且b≠0)垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔□06a1b1＋a2b2＋a3b3＝03．空间向量的长度公式及夹角的坐标表示(1)空间向量长度公式的坐标表示①若a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝|a|2＝a2＝□07a21＋a22＋a23，即|a|＝a21＋a22＋a23.-2-②空间两点间的距离公式已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，a.AB→＝□08(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．b．dAB＝|AB→|＝□09x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.(2)向量的夹角坐标公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝□10a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则a1b1＝a2b2＝a3b3.()(2)空间向量a＝(1,1,1)为单位向量．()(3)若向量AB→＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)(教材改编P97T1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是()A．a＋b＝(10，－5，－6)B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10D．|a|＝6(2)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则AB→＝________.(3)若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.(4)已知a＋b＝(2，2，23)，a－b＝(0，2，0)，则cos〈a，b〉＝________.答案(1)D(2)(3,3,3)(3)16－32(4)63探究1空间向量的坐标运算例1已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．[解]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；-3-a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.拓展提升空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法1．根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算．2．熟练应用有关的公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b后，再求数量积．【跟踪训练1】已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)，求：(1)a＋b；(2)2a－3b；(3)a·b；(4)(a＋b)·(a－b)．解(1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2)＝(2＋0，－1－1，3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a－3b＝(4，－2,6)－(0，－3,6)＝(4,1,0)．(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－(0＋1＋4)＝9.探究2利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题例2如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，求点M的坐标．-4-[解]由题意，知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，z)，则AC1→＝(－a，a，a)，AM→＝(x－a，y，z)，BM→＝(x－a，y－a，z)．因为BM→⊥AC1→，所以BM→·AC1→＝0.所以－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①因为AC1→∥AM→，所以x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa(λ∈R)，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②.由①②，得x＝2a3，y＝a3，z＝a3.所以点M的坐标为2a3，a3，a3.拓展提升(1)利用向量的坐标运算解决立体几何中的垂直问题，关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标．(2)用向量的坐标运算证明垂直问题，把几何问题转化为代数计算，这是数学中化归思想的具体体现，如证明直线AB⊥CD，可转化为证明AB→·CD→＝0，由向量的坐标运算即可完成．【跟踪训练2】(1)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(ⅰ)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；(ⅱ)设|c|＝3，c∥BC→，求c.解(ⅰ)∵a＝AB→＝(1,1,0)，b＝AC→＝(－1,0,2)，∴ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝k(1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－52.(ⅱ)∵c∥BC→，又BC→＝(－2，－1,2)，∴设c＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c|＝3，∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1.-5-∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点．求证：(ⅰ)AB1∥GE，AB1⊥EH；(ⅱ)A1G⊥平面EFD.证明如图，以A为坐标原点，分别以AB→，AD→，AA1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)．由中点坐标公式，得E1，1，12，F1，12，0，G12，1，0，H12，12，1.(ⅰ)AB1→＝(1,0,1)，GE→＝12，0，12，EH→＝－12，－12，12.因为AB1→＝2GE→，AB1→·EH→＝1×－12＋1×12＝0，所以AB1→∥GE→，AB1→⊥EH→，即AB1∥GE，AB1⊥EH.(ⅱ)A1G→＝12，1，－1，DF→＝1，－12，0，DE→＝1，0，12.因为A1G→·DF→＝12－12＋0＝0，A1G→·DE→＝12＋0－12＝0，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD.探究3利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题例3(1)已知向量a＝(5,3,1)，b＝－2，t，－25，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围；(2)棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(ⅰ)求证：EF⊥CF；(ⅱ)求EF→与CG→所成角的余弦值；(ⅲ)求CE的长．[解](1)由已知，得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×－25＝3t－525，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b0，-6-即3t－5250，所以t5215.若a与b的夹角为180°，则存在λ0，使a＝λb(λ0)，即(5,3,1)＝λ－2，t，－25，所以5＝λ－2，3＝λt，1＝λ－25，所以t＝－65，故实数t的取值范围是－∞，－65∪－65，5215.(2)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，12，0，G1，1，12.∴EF→＝12，12，－12，CF→＝12，－12，0，CG→＝1，0，12，CE→＝0，－1，12.(ⅰ)证明：∵EF→·CF→＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0，∴EF→⊥CF→，即EF⊥CF.(ⅱ)∵|EF→|＝122＋122＋－122＝32，|CG→|＝12＋02＋122＝52，∴cos〈EF→，CG→〉＝EF→·CG→|EF→||CG→|.