2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程讲

-1-2．2.1椭圆及其标准方程1．椭圆(1)□01平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，□02这两个定点叫做椭圆的焦点，□03两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a□04|F1F2|这一个条件．(2)集合的语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a□05|F1F2|}．2．椭圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()-2-(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A0，B0，A≠B)．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P38“椭圆的定义”)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________________．(3)椭圆的方程为y29＋x24＝1，则a＝______，b＝______，c＝________.(4)椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．答案(1)A(2)x225＋y216＝1(3)325(4)6解析(1)∵|MF1|＋|MF2|＝10|F1F2|＝6，由椭圆定义可知，动点M的轨迹为椭圆．探究1椭圆的定义例1已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是()A.x29＋y28＝1(x≠±3)B.x29＋y28＝1(x≠0)C.x24＋y23＝1(y≠0)D.x23＋y24＝1(y≠0)[解析]∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝3，b＝22.又∵A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为x29＋y28＝1(x≠±3)．[答案]A拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．-3-2．椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.【跟踪训练1】已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解设圆P的半径为r.又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.探究2椭圆标准方程的应用例2若方程x216－m＋y2m＋9＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．－9m16B．－9m72C.72m16D．m72[解析]依题意可得16－m0，m＋90，m＋916－m，解得72m16.[答案]C[条件探究]若将例2条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范-4-围．解依题意可得16－m0，m＋90，16－mm＋9，解得－9m72.[结论探究]如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？解由题意得c2＝(m＋9)－(16－m)＝2m－7，所以c＝2m－7，又72m16，所以02m－725，c∈(0,5)，所以焦距2c∈(0,10)．拓展提升方程x2m＋y2n＝1表示椭圆的条件是m0，n0，m≠n，表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m0，n0，mn，表示焦点在y轴上的椭圆的条件是m0，n0，mn.【跟踪训练2】(1)“3m7”是“方程x27－m＋y2m－3＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由方程x27－m＋y2m－3＝1表示的曲线是椭圆，可得7－m0，m－30，7－m≠m－3，解得3m7且m≠5，所以3m7且m≠5⇒3m7，而3m7推不出3m7且m≠5.所以，“3m7”是“方程x27－m＋y2m－3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)已知椭圆的标准方程为x225＋y2m2＝1(m0)，并且焦距为6，求实数m的值．-5-解∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25,a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m0，故m＝34.综上，实数m的值为4或34.探究3椭圆的标准方程例3求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)；(2)a＝8，c＝6；(3)经过两点P113，13，P20，－12.[解](1)由题意得，2a＝4－02＋32＋22＋4－02＋32－22＝12，得a＝6.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32.∴所求的椭圆的方程为x232＋y236＝1.(2)∵a＝8，c＝6，∴b2＝a2－c2＝64－36＝28.当焦点在x轴上时，椭圆的方程为x264＋y228＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为y264＋x228＝1.故所求的椭圆方程为x264＋y228＝1或y264＋x228＝1.(3)①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，依题意知132a2＋132b2＝1，－122b2＝1，解得a2＝15，b2＝14.∵a2＝1514＝b2，∴焦点在x轴上的椭圆不存在．②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．-6-由题意得132a2＋132b2＝1，－122a2＝1，解得a2＝14，b2＝15.故所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.[解法探究]解答例3(1)(3)有没有其他解法呢？解(1)∵椭圆的焦点在y轴上，设所求的椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由题意得16b2＋18a2＝1，a2－b2＝4，得a2＝36，b2＝32.∴所求的椭圆方程为x232＋y236＝1.(3)设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．由题意得A132＋B132＝1，B－122＝1，解得A＝5，B＝4，∴所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1，即y214＋x215＝1.例4已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹．[解]如图所示，由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(－4，0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3.设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|＝r1－r.①-7-由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|＝r2＋r.②由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点．由题意，得c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.∴椭圆的方程为x264＋y248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为x264＋y248＝1.拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a，b，c，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．②求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式x1＝gx，y，y1＝hx，y.③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【跟踪训练3】(1)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．答案x2＋3y22＝1-8-解析设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝1－b2.因为AF2⊥x轴，所以点A的坐标为(c，b2)，设点B的坐标为(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得AF1→＝3F1B→，即－2c＝3x0＋c，－b2＝3y0，解得x0＝－53c，y0＝－13b2，代入椭圆方程可得251－b29＋19b2＝1，得b2＝23，所以椭圆方程为x2＋3y22＝1.(2)求过点(－3,2)且与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程．解∵c2＝9－4＝5，焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为x2a2＋y2a2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上，∴9a2＋4a2－5＝1，∴a2＝15，∴所求椭圆方程为x215＋y210＝1.探究4椭圆的焦点三角形问题例5已知椭圆x24＋y23＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[解]由x24＋y23＝1可知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.②由①②联立可得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝12×65×2×32＝335.[条件探究]例5中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？解由已知a＝2，b＝3，得c＝a2－b2＝4－3＝1.∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°，-9-即4＝(|PF1|＋|