2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1.1 直线的倾斜角和斜率学案 北师大版必修2

11.1直线的倾斜角和斜率[学习目标]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.【主干自填】1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的□01方向．2．直线的倾斜角(1)倾斜角的概念在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按□02逆时针方向绕着交点旋转到和直线l□03重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为□040°.(2)倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是□050°≤α180°.3．斜率的定义(1)把一条直线的倾斜角α的□06正切值叫作这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝□07tanα.(2)所有的直线都有□08倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为□0990°的直线没有斜率．(3)当倾斜角0°≤α90°时，斜率是□10非负的，倾斜角越大，直线的斜率就□11越大；当倾斜角90°α180°时，斜率是□12负的，倾斜角越大，直线的斜率就□13越大．4．直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝□14y2－y1x2－x1.【即时小测】1．思考下列问题(1)已知直线上一个点，能确定一条直线吗？提示：不能．(2)所有直线都有倾斜角吗？所有直线都有斜率吗？提示：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．22．下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是()A．①B．①②C．①③D．②④提示：A根据倾斜角定义判断．3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.33B.3C．1D.22提示：Ak＝tan30°＝33.4．给出下列说法：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以是－30°；③倾斜角是0°的直线只有一条；④平行于x轴的直线的倾斜角为180°.其中，正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3提示：B直线的倾斜角的取值范围是0°≤α180°，故②④错；垂直于y轴的直线的倾斜角都是0°，故③错；①是正确的．例1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°α90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α[解析]如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.3[答案]D类题通法倾斜角的求法求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论常见情形有：(1)0°角；(2)锐角；(3)90°角；(4)钝角．[变式训练1]如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则下列关系正确的是()A．α1α2α3B．α1α3α2C．α2α3α1D．α3α2α1答案D解析由倾斜角的定义可知0°α190°，α2＝90°，90°α3180°，∴α3α2α1.例2(1)直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的斜率．[解](1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k＝7－32－1＝4.(2)因为直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l′的斜率k′＝tan135°＝－1.类题通法直线斜率的求法4求直线的斜率有两种思路：一是公式；二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．[变式训练2]已知直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，且l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解由于点Q1，Q2，Q3的横坐标与点P的横坐标均不相等，所以设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率，则k1＝－1－2－2－3＝35，k2＝－2－24－3＝－4，k3＝2－2－3－3＝0.由k10知，直线l1的倾斜角为锐角；由k20知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°，既不是锐角，也不是钝角.例3已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值．[解]如图所示，由于点P(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．由于yx的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝23，所以可求得yx的最大值为2，最小值为23.类题通法转化思想在解题中的应用若所求最值或范围的式子可化为y2－y1x2－x1的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．5[变式训练3]已知实数x，y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3x＋2的最大值和最小值．解如图所示．由于点P(x，y)满足关系式y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，可知点P(x，y)在曲线AB上移动，其中A(－1,4)，B(1,2)，设Q(－2，－3)．由于y＋3y＋2的几何意义是直线PQ的斜率且kAQ＝7，kBQ＝53.所以y＋3x＋2的最大值为7，最小值为53.例4求证：A(－2,3)，B(3，－2)，C12，12三点共线．[证明]∵A(－2,3)，B(3，－2)，C12，12，∴直线AB的斜率kAB＝－2－332＝－1，直线AC的斜率kAC＝12－3122＝－1，∴kAB＝kAC，即直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一条直线，∴A，B，C三点共线．类题通法三点共线问题的解法(1)求出任意两点连线的斜率．(2)说明任意两点的斜率相等．(3)说明两条直线经过同一点．6[变式训练4]如果A2m，52，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值．解由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.由斜率公式，得kAB＝52＋12m－4＝74m－8，kBC＝－1＋m4＋4＝m－18.∵A，B，C三点在同一条直线上，∴kAB＝kBC.∴74m－8＝m－18，即m2－3m－12＝0.解得m＝3＋572或3－572.易错点⊳忽略直线斜率不存在的情况[典例]已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求l的斜率．[错解]设直线l的斜率为k，则k＝2－31－m＝1m－1.[错因分析]当m＝1时，直线l的斜率不存在，错解中忽略了这种情况导致求解不完全．[正解]当m＝1时，直线l垂直于x轴，其倾斜角为90°，斜率不存在；当m≠1时，设直线l的斜率为k，则k＝2－31－m＝1m－1.综上可得，当m＝1时，直线l的斜率不存在；当m≠1时，直线l的斜率为1m－1.课堂小结1.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：73.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝y2－y1x2－x1应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应).(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.1．在下列四个说法中，正确的说法共有()①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；②直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]；③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析由于倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，所以①④不正确；若一条直线的斜率为tanα＝1，角α可以为225°，由直线的倾斜角的取值范围可知③不正确；由直线的倾斜角的定义可知直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，所以②不正确，故选A.2．设直线l1的斜率大于0，直线l2的斜率小于0，直线l3的斜率不存在，并且l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则α1，α2，α3的大小关系是()A．α1α2α3B．α3α2α1C．α1α3α2D．α2α3α1答案C解析由斜率公式k＝tanα(α≠90°)易知0°α190°，90°α2180°，α3＝90°，8所以α1α3α2，故选C.3．直线l1的倾斜角为30°，斜率为k1，直线l2过点(1,2)，(5,2＋5)，斜率为k2，则()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．不能确定答案A解析∵k1＝tan30°＝33，k2＝2＋5－25－1＝54，∴k1k2.4．已知a0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.答案1＋2解析由题意可得a2＋a2－1＝a3＋a3－1，化简得a(a2－2a－1)＝0，∴a＝0或a＝1±2，∵a0，∴a＝1＋2.