2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.

-1-3.1.1函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f的正确理解，函数符号y＝f(x)的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有□01唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作□02y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做□03自变量，x的取值范围A叫做函数的□04定义域；与x的值相对应的y值叫做□05函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B的子集．注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A}⊆B.(3)在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”．知识点二函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：-2-(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．知识点三区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且ab.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a，b]；②满足不等式axb的实数x的集合叫做□03开区间，表示为□04(a，b)；③满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a，b)，(a，b]．这里的实数a与b都叫做相应区间的□07端点．实数集R可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”．我们可以把满足x≥a，xa，x≤b，xb的实数x的集合，用区间分别表示为□12[a，＋∞)，□13(a，＋∞)，□14(－∞，b]，□15(－∞，b)．(2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示-3-注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．知识点四同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．()(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．()(5)对于定义在集合A到集合B上的函数y＝f(x)，x1，x2∈A，若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)．()-4-答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是________．①A＝{1,4}，B＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方；②A＝{0,1,2}，B＝{1,2}，对应关系：③A＝[0,2]，B＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是________．①y＝x2；②y＝3x3；③y＝(x)2；④s＝t.答案(1)①③(2)②④题型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝1x＋1；(3)y＝x－1＋1－x；(4)y＝x＋1x2－1；(5)y＝(1－2x)0.[解](1)函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．(3)要使函数式有意义，则x－1≥0，1－x≥0，即x≥1，x≤1，所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}．(4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，x＋1x2－1有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}．(5)∵1－2x≠0，即x≠12，∴函数的定义域为{|xx≠12}.-5-例2已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．[解]已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，即－1≤x≤4.故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤32，∴函数f(2x＋1)的定义域是－1，32.例3如图所示，用长为1m的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x(单位：m)，求此框架围成的面积y(单位：m2)与x的函数关系式．[解]由题意可得，AB＝2x，CD︵的长为πx，于是AD＝1－2x－πx2，∴y＝2x·1－2x－πx2＋πx22，即y＝－π＋42x2＋x.由2x0，1－2x－πx20，得0x1π＋2，∴此函数的定义域为0，1π＋2.故所求的函数关系式为y＝－π＋42x2＋x0x1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y＝f(x)为整式，则函数的定义域是实数集R.(2)分式：若y＝f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y＝f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y＝f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：-6-①若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中，g(x)∈[a，b]，从中解得x的解集即f[g(x)]的定义域．②若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g(x)的范围，设u＝g(x)，则f[g(x)]＝f(u)，又f(u)与f(x)是同一个函数，所以g(x)的范围即f(x)的定义域．③已知f[φ(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域，先由f[φ(x)]中x的取值范围，求出φ(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，即h(x)的取值范围，再根据h(x)的取值范围便可以求出f[h(x)]中x的取值范围．(6)实际问题：若y＝f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1](1)若函数f(x＋1)的定义域为－12，2，则函数f(x－1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y＝x＋12x＋1－1－x；②y＝x＋1|x|－x；(3)①求函数y＝5－x＋x－1－1x2－9的定义域；②将长为am的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y(单位：m2)关于一边长x(单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案(1)32，4(2)见解析(3)见解析解析(1)由题意知，－12≤x≤2，则12≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为12，3，∴12≤x－1≤3，解得32≤x≤4.∴f(x－1)的定义域为32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，1－x≥0，即x≠－1，x≤1，∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x|－x≠0，即|x|≠x，∴x0.∴函数的定义域为{x|x0}．(3)①解不等式组5－x≥0，x－1≥0，x2－9≠0，得x≤5，x≥1，x≠±3.-7-故函数的定义域是{x|1≤x≤5，且x≠3}．②因为矩形的一边长为x，则另一边长为12(a－2x)，所以y＝x·12(a－2x)＝－x2＋12ax，定义域为x0xa2.题型二已知函数值求自变量的值例4已知函数f(x)＝2x2－4，x∈R，若f(x0)＝2，求x0的值．[解]易知f(x0)＝2x20－4，∴2x20－4＝2，即x20＝3.又∵x0∈R，∴x0＝±3.金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x∈[0，＋∞)”，则x0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2]已知函数f(x)＝x2－2x，x∈(－∞，0)，若f(x0)＝3.求x0的值．解由题意可得f(x0)＝x20－2x0.∴x20－2x0＝3，即x20－2x0－3＝0.解得x0＝3或x0＝－1.又∵x0∈(－∞，0)，∴x0＝－1.题型三已知自变量的值求函数值例5已知f(x)＝x2，x∈R，求：(1)f(0)，f(1)；(2)f(a)，f(a＋1)．[解](1)f(0)＝02＝0，f(1)＝12＝1.(2)∵a∈R，a＋1∈R，∴f(a)＝a2，f(a＋1)＝(a＋1)2.金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f(x)＝x2求解，实质上就是求代数式的值，例如f(1)就是当x＝1时，代数式x2的值，而f(a＋1)就是当x＝a＋1时，代数式x2的值．[跟踪训练3]已知f(x)＝x＋1x＋1，求：-8-(1)f(2)；(2)当a0时，f(a＋1)的值．解(1)f(2)＝2＋13.(2)易知f(x)的定义域A＝[0，＋∞)，∵a0，∴a＋11，则a＋1∈A，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋2.题型四求函数的值域例6求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝2x＋1x－3；(4)y＝2x－x－1.[解](1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝2x＋1x－3＝2x－3＋7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t-9-＝2t－142＋158，由t≥0，再结合函