2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表

1第2课时函数的表示方法(教师独具内容)课程标准：1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用.2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．教学重点：函数的三种表示方法；分段函数的图像及应用．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.【情境导学】(教师独具内容)我们已经知道圆的面积A与半径r之间的关系A＝πr2是函数关系，银行里常用的“利息表”和我国人口出生率的变化曲线也是函数关系等等，既然都是函数关系，它们的表示各有什么特征？对你解决问题有哪些益处？学了本节知识，你一定有很深的体会．【知识导学】知识点一函数的表示方法(1)解析法□01用代数式(或解析式)来表示函数的方法称为解析法．(2)列表法□02用列表的形式给出函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法．(3)图像法一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的□03自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中□04点的横坐标与纵坐标，则□05满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．这就是说，如果F是函数y＝f(x)的图像，则□06图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足□07函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上．□08用函数的图像表示函数的方法称为图像法．知识点二分段函数□01如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．知识点三常数函数□01值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数．【新知拓展】21．对函数的三种表示法的说明(1)列表法：采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少，当自变量的个数较多时，使用不方便．(2)图像法：图像既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．(3)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．2．关于分段函数(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2)研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图像时，可将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集，写定义域时，区间端点应不重不漏．(4)求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式求解．3．关于函数的实际应用问题，在确定出函数的解析式后，不仅要注意解析式本身对自变量的限制，还要注意自变量的实际意义．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()(3)分段函数分几段，其图像就有相应的几段．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1≤x222x≤4f(x)123A．1B．2C．3D．不存在(2)函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是______，值域是________．3(3)已知函数f(x)＝x2，x≤0，0，x0，则f(－2)＝________.(4)已知函数f(x)是一次函数，且其图像过点A(－2,0)，B(1，5)两点，则f(x)的解析式为________．答案(1)C(2)[－1,2)(－1,1](3)4(4)f(x)＝53x＋103题型一函数的三种表示方法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x(台)与收款总额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．[解](1)列表法：(2)图像法：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．金版点睛函数的表示方法(1)解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数．4(2)图像法的优点是能直观形象地表示出随自变量的变化，相应的函数值的变化趋势，有利于我们通过图像来研究函数的某些性质．图像法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等．(3)列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有广泛应用，如银行利率表、列车时刻表等．[跟踪训练1]某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图像法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．解(1)该函数关系用列表法表示为：x/道012345y/分50403020100(2)该函数关系用图像法表示，如图．(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).题型二作函数的图像例2作出下列各函数的图像：(1)y＝1－x，x∈Z；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[解](1)列表：x…－2－10123…y…3210－1－2…描点可得这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，∵x∈Z，∴y∈Z，这些点称为整点，如图(1)所示．5(2)列表：x－2－1012y0－1038描点、连线可得这个函数的图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图(2)所示．金版点睛作函数图像应注意的问题(1)作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图像．(2)函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．[跟踪训练2]画出下列函数的图像：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x1或x－1)．解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x1或x－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线，如图(2)．6题型三函数解析式的求法例3(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．[解](1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.∴k2＝9，kb＋b＝4.解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.(2)解法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二(换元法)：令x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，∴f(t)＝(t－1)2＋2t－12＝t2－1(t≥1)．∴f(x)＝x2－1(x≥1)．金版点睛求函数解析式的五种常用方法(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，根据类型设出其解析式，确定其系数即可．(2)换元法：即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．(3)配凑法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)时，可从f[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示f(x)，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f[g(x)]的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.(5)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．7[跟踪训练3](1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式；(2)已知函数f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(3)已知f(x＋4)＝x＋8x，求f(x2)；(4)已知函数y＝f(x)，满足2f(x)＋f1x＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)．解(1)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得c＝1，a＋b＋c＝2，4a＋2b＋c＝5，解得a＝1，b＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋1.(2)解法一：令x＋1＝t，则x＝t－1，代入，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2，即f(t)＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.解法二：f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.(3)解法一：∵f(x＋4)＝(x)2＋8x＝(x＋4)2－16，∴f(x)＝x2－16(x≥4)．∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．解法二：令x＋4＝t(t≥4)，则x＝(t－4)2.∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)，即f(x)＝x2－16(x≥4)．∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．(4)用1x代替x有2f1x＋f(x)＝2x，所以有2fxf1x＝2x，①2f1x＋fx2x.②①×2－②，得3f(x)＝4x－2x，即f(x)＝4x3－23x(x≠0).题型四分段函数例4(1)已知函数f(x)＝x＋2x≤－1x21x22xx≥2.8①求f(2)，f12；②若f(a)＝3，求a的值；(2)已知函数f(x)＝x2，|x|≤1，1，|x|1.①画出函数f(x)的图像；②求函数f(x)的定义域和值域；③利用图像解不等式f(x)x.[解](1)①f(2)＝2×2＝4，f12＝122＝14.②当a≤－1时，f(a)＝a＋2，即a＋2＝3，∴a＝1(舍去)．当－1a2时，f(a)＝a2＝3，∴a＝±3，∵－3－1，∴a＝－3不符合题意，舍去，∴a＝3.当a≥2时，f(a)＝2a＝3，∴a＝1.5(舍去)．综上可知，a＝3.(2)①函数f(x)的图像如右图所示．②由条件，知函数f(x)的定义域为R.由图像，知当|x|≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当|x|1时，f(x)＝1，所以函数f(x)的值域为[0,1]．③由图像，知不等式f(x)x的解集为{x|x0}．金版点睛分段函数求值应注意的问题(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求得，当不明确时要分类讨论．(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好的求法也是“图像法”，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是分别求出各段上的值域的并集．9[跟踪训练4](1)已知函数f(x)＝x－2，|x|≤1，1＋x2，|x|1，则ff12＝________；(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y.①根据题意写出y与x之间的函数解析式；②作出函数的图像，并根据图像求y的最大值．答案(1)134(2)见解析解析(1)由于12≤1，所以f12＝12－2＝－32，而－321，所以f－32＝1＋－322＝134.所以ff12＝134.(2)①点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上，DA上三种情况进行讨论，得关系式y＝2x，x0，4]，8，x4，8]，212－xx8，12.②函数的图像如图所示．由图像可得ymax＝8.1．在下面四个图中，可表示函数y＝f(x)的图像的只可能是()10答案D解析根据函数的定