2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函

-1-1.3.1函数的单调性与导数1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导(1)若在区间(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间内是□01单调递增的．(2)若在区间(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间内是□02单调递减的．2．求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的□03定义域．(2)计算f′(x)，令□04f′(x)＝0，求零点．(3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)．(4)判断f′(x)在每个区间的□05符号，确定函数f(x)的□06增区间和□07减区间．函数的增减快慢与导数一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图，函数y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内“平缓”．说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)-2-(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．(2)若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为________．(3)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________．答案(1)上升(2)a0，且b2≤3ac(3)－∞，－53，(1，＋∞)探究1.4．设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋a，因为f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以3x2＋a≥0对x∈(1，＋∞)恒成立，即a≥－3x2对x∈(1，＋∞)恒成立，又－3x2－3，所以a≥－3.5．判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．解y′＝3ax2，x2≥0.当a0时，y′≥0，函数在R上单调递增；当a0时，y′≤0，函数在R上单调递减；当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．