2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理

-1-2.1.1合情推理1．归纳推理(1)概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由□05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理．(3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些□11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由□13特殊到□14特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)-2-(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an(n∈N*)，则可归纳猜想{an}的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．(3)等差数列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是__________．答案(1)an＝2n＋1(n∈N*)(2)65(3)b2n＝bn－1·bn＋1(n≥2且n∈N*)探究1数列中的归纳推理例1已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝an1＋an(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解]当n＝1时，a1＝1，当n＝2时，a2＝11＋1＝12，当n＝3时，a3＝121＋12＝13，当n＝4时，a4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{an}的通项公式是an＝1n.[解法探究]此题有没有其他解法呢？[解]因为an＋1＝an1＋an，即1an＋1＝1an＋1，所以1an＋1－1an＝1，-3-又a1＝1，所以数列1an是以1a1＝1为首项，公差为1的等差数列．所以1an＝1＋(n－1)×1＝n，所以数列{an}的通项公式是an＝1n.拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为________．答案2nn＋1解析因为a1＝1，S2＝a1＋a2＝4a2，所以a2＝13，所以S2＝13×4＝43，同理，可得S3＝64，S4＝85，归纳可得，Sn＝2nn＋1.探究2几何中的归纳推理例2定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a)，(b)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D[解析]从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A，B，C，D分别表示什么图形，即可研究(a)，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A是一条竖直线段，B是-4-一个正方形，C是一条水平线段，D是一个圆．所以(a)中的图形应为B*D，(b)中的图形应为A*C.故选B.[答案]B拓展提升归纳推理在几何中应用的关键在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．【跟踪训练2】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n4时，f(n)＝________(用含n的数学表达式表示)．答案512(n－2)(n＋1)解析由图可知，f(4)＝5，当n4时，可得递推式f(n)－f(n－1)＝n－1.由f(n)－f(n－1)＝n－1，得f(n－1)－f(n－2)＝n－2，…，f(4)－f(3)＝3，叠加可得，f(n)－f(3)＝12(n＋2)(n－3)．又f(3)＝2，所以f(n)＝12(n＋2)(n－3)＋2，化简、整理，得f(n)＝12(n－2)(n＋1)．探究3数列中的类比推理例3设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16T12成等比数列．[解析]等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：-5-设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．[答案]T8T4T12T8拓展提升类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a′，b′，c′(a，b，c分别与a′，b′，c′相似或相同)，所以B类事物可能具有性质d′(d与d′相似或相同)．【跟踪训练3】若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有通项满足bn＝a1＋a2＋a3＋…＋ann(n∈N*)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn0，则通项满足dn＝________(n∈N*)的数列也是等比数列．答案nc1c2c3…cn解析由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想dn＝nc1c2c3…cn.探究4几何中的类比推理例4平面几何里有“设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则1a2＋1b2＝1h2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三条侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，平面BCD上的高为h，则________”．[解析]如图所示，设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E.连接AE，由AB⊥AC，AB⊥AD得AB⊥平面ACD.∴AB⊥AE.设AE＝h1，在Rt△ABE中，由已知可得1a2＋1h21＝1h2.-6-又易证CD⊥平面ABE，∴CD⊥AE.在Rt△ACD中有1h21＝1b2＋1c2，∴1a2＋1b2＋1c2＝1h2.[答案]1a2＋1b2＋1c2＝1h2拓展提升解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形点直线边长面积三角形线线角空间图形直线平面面积体积四面体面面角【跟踪训练4】类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2＋AC2＝BC2.若三棱锥A－BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案S2△BCD＝S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ADB解析在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方，类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中，有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是，归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是()-7-A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2答案C解析观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n＋2.故选C.3．请仔细观察，运用合情推理，写在下面横线上的数最可能的是1,1,2,3,5，________，13.答案8解析从第三项起，每一项是它前两项的和，根据这个规律，应填写的数字是8.4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________．答案球心距离相等的两截面的面积相等解析由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆．5．已知数列{an}满足an＋1＝12－an(n∈N*)，a1＝0，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，猜测{an}的通项公式．解由an＋1＝12－an和a1＝0，得a2＝12－0＝12，a3＝12－12＝23，a4＝12－23＝34，a5＝12－34＝45.观察以上5项，猜测{an}的通项公式为an＝n－1n.-8-