2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.3 独立

-1-2.2.3独立重复试验与二项分布知识点独立重复试验1．定义在□01相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．基本特征(1)每次试验是在□02同样条件下进行．(2)每次试验都只有□03两种结果：发生与不发生．(3)各次试验之间□04相互独立．(4)每次试验，某事件发生的概率都是□05一样的．知识点二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为□01P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作□02X～B(n，p)，并称p为□03成功概率．1．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk·(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式．2．要注意区分二项分布、两点分布、超几何分布(1)当n＝1时，二项分布就是两点分布；(2)二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验；超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的．即二项分布与超几何分布的最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的．()(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．()(3)独立重复试验每次试验发生的机会是均等的．()(4)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．()-2-答案(1)√(2)√(3)√(4)×2．做一做(1)已知η～B6，13，则P(η＝4)＝________.(2)连续掷一枚硬币5次，恰好有3次出现正面向上的概率是________．(3)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．答案(1)20243(2)516(3)0.648解析(1)由η～B6，13可知P(η＝4)＝C46134×232＝20243.(2)由题意可知，该试验是独立重复试验，由于硬币出现正面向上和反面向上是等可能的，均为12，故出现正面向上的次数ξ服从二项分布ξ～B5，12.所以P(ξ＝3)＝C35123×122＝516.(3)由题意可知，此人射击击中目标的次数ξ服从二项分布ξ～B(3,0.6)．所以P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C230.62×0.4＋C330.63＝0.648.探究1独立重复试验的概率求法例1某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．[解](1)令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B5，45，故其分布列为P(X＝k)＝Ck545k·1－455－k(k＝0,1,2,3,4,5)．“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C25×452×1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C05×450×1－455－C15×45×1－454＝1－0.00032－0.0064≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为P＝C14×45×1－453×45≈0.02.-3-拓展提升独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[跟踪训练1]甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？解(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P1＝232＋C12×23×13×23＝2027.(2)甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则P2＝233＋C23×232×13×23＋C24×232×132×23＝6481.探究2二项分布的问题例2甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则射击停止，问：乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？[解]设甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A、B，则P(A)＝23，P(B)＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为C44P4(A)[1－P(A)]0＝234＝1681.所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为P＝1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，-4-概率为C24P2(A)·[1－P(A)]2＝6×232×132＝827.乙恰好击中3次，概率为C34P3(B)·[1－P(B)]1＝2764.所以概率为827×2764＝18.(3)乙射击5次后，中止射击，第3次击中，第4,5次不中，而1,2次至少1次击中目标，所以所求概率为343×142＋342×143＋342×143＝451024.拓展提升(1)二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．(2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．[跟踪训练2]若随机变量ξ服从B6，12，则P(ξ≤3)＝()A.1132B.732C.2132D.764答案C解析解法一：∵ξ～B6，12，∴P(ξ＝k)＝Ck6·12k·1－126－k＝Ck6·126.∴P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝(C06＋C16＋C26＋C36)·126＝2132.故选C.解法二：∵ξ～B6，12，∴P(ξ＝k)＝Ck612k·1－126－k＝Ck6·126.∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ≥4)＝1－C46·126＋C56·126＋C66·126＝2132.故选C.探究3二项分布的实际应用例3一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗-5-遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[解](1)ξ～B5，13，则P(ξ＝k)＝Ck513k235－k，k＝0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为ξ012345P32243802438024340243102431243(2)η的分布列为Ρ(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝23k·13，k＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝235，故η的分布列为η012345P13294278811624332243(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－235＝211243.拓展提升对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．[跟踪训练3]在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的概率分布列．-6-解(1)解法一：记B表示“引爆油罐”，则射击次数X＝2,3,4,5.X＝2表明第一次击中，第二次也击中，P(X＝2)＝23×23＝49；X＝3表明前2次击中一次，第3次击中，P(X＝3)＝C12231131×23＝827；X＝4表明前3次击中一次，第4次击中，P(X＝4)＝C13231132×23＝427；X＝5表明前4次击中一次，第5次击中，P(X＝5)＝C14231133×23＝16243.所以，P(B)＝49＋827＋427＋16243＝232243.解法二：利用P(B)＝1－P(B－)．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．所以P(B)＝1－135－C15134×23＝232243.(2)X＝2,3,4时同(1)，当X＝5时，击中次数分别为0,1,2.∴P(X＝5)＝135＋C15231134＋C14231×133×23＝19.所以X的概率分布列为X2345P4982742719n次独立重复试验有如下特征：(1)每次试验的条件完全都相同，有关事件的概率保持不变；(2)每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；(3)每次试验中有两种结果，这两种可能的结果是对立的．在运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，再求解.注意：(1)对于公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式；(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两-7-点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.1．下列随机变量X不服从二项分布的是()A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数答案B解析选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n,0.3)．2．设在一次试