2019-2020学年新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性

-1-2.1等式性质与不等式性质(教师独具内容)课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．教学难点：用作差法比较代数式的大小．【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c.(2)如果a＝b，那么ac＝bc或ac＝bc(c≠0)．(3)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.知识点二作差比较法(1)理论依据：□01a－b0⇔ab；□02a－b＝0⇔a＝b；□03a－b0⇔ab.(2)方法步骤：①□04作差；②□05整理；③□06判断符号；④□07下结论．知识点三两个实数大小的比较(1)ab⇔□01a－b0；(2)a＝b⇔a－b□02＝0；(3)□03ab⇔a－b0.知识点四不等式的性质(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么□01ab，即□02ab⇔ba.(2)如果ab，且bc，那么□03ac，即ab，bc⇒□04ac.(3)如果ab，那么a＋c□05b＋c.(4)如果ab，c0，那么ac□06bc；如果ab，c0，那么ac□07bc.(5)如果ab，cd，那么a＋c□08b＋d.(6)如果ab0，cd0，那么ac□09bd；如果ab0，cd0，那么ac□10bd.-2-(7)如果ab0，那么an□11bn(n∈N，n≥2)．(8)如果□12ab0，那么nanb(n∈N，n≥2)．【新知拓展】1．关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如ab，cd不能推出a－cb－d.2．常用的结论(1)ab，ab0⇒1a1b；(2)b0a⇒1a1b；(3)ab0，cd0⇒adbc；(4)若ab0，m0，则aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)；bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)．3．比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．4．利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若x2＝0，则x≥0.()(2)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．()(3)若ab，则ac2bc2.()(4)若ab0，则1a1b.()(5)若x1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2xx2＋2.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√-3-2．做一做(1)已知a＋b0，b0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．ab－b－aB．a－b－abC．a－bb－aD．ab－a－b(2)设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()A．a－cb－dB．acbdC．a＋cb＋dD．a＋db＋c(3)已知x1，则x2＋2与3x的大小关系是________．答案(1)C(2)C(3)x2＋23x题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小：(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2；(2)已知x1，比较x3－1与2x2－2x；(3)已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝4x＋y，比较m与n的大小．[解](1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a0，b0且a≠b，∴(a－b)20，a＋b0，∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)0，即a3＋b3a2b＋ab2.(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.∵x1，∴x－10.又x－122＋340，∴(x－1)x－122＋340，∴x3－12x2－2x.(3)∵m－n＝1x＋1y－4x＋y＝x＋yxy－4x＋y＝x＋y2－4xyxyx＋y＝x－y2xyx＋y.又x，y均为正数，∴x0，y0，xy0，x＋y0，(x－y)2≥0.-4-∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．[变式探究]若将本例(2)中“x1”改为“x∈R”，则x3－1与2x2－2x的大小又如何呢？解由例题知x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)x－122＋34，∵x－122＋340，∴当x－10，即x1时，x3－12x2－2x；当x－1＝0，即x＝1时，x3－1＝2x2－2x；当x－10，即x1时，x3－12x2－2x.金版点睛作差比较法的四个步骤[跟踪训练1](1)比较x3＋6x与x2＋6的大小；(2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．解(1)(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)．∵x2＋60，∴当x1时，x3＋6xx2＋6；当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6；当x1时，x3＋6xx2＋6.(2)x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)．当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y；当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y.-5-题型二不等式的性质及应用例2下列命题正确的是________．①cacb且c0⇒ab；②ab且cd⇒acbd；③ab0且cd0⇒adbc；④ac2bc2⇒ab.[解析]①cacb，c0⇒1a1b；当a0，b0时，满足已知条件，但推不出ab，∴①错误．②当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立．∴②错误．③ab0，cd0⇒adbc0⇒adbc成立．∴③正确．④显然c20，∴两边同乘以c2得ab.∴④正确．[答案]③④金版点睛解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定.[跟踪训练2](1)判断下列命题是否正确，并说明理由：①若acbd，则adbc；②设a，b为正实数，若a－1ab－1b，则ab.(2)若ab0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由：①1a－b1a；②1a＋b1b.解(1)①由acbd，所以ac－bd0，-6-即ad－bccd0，所以ad－bc0，cd0或ad－bc0，cd0.即adbc且cd0或adbc且cd0，故不正确．②因为a－1ab－1b，且a0，b0，所以a2b－bab2－a⇒a2b－ab2－b＋a0⇒ab(a－b)＋(a－b)0⇒(a－b)(ab＋1)0，所以a－b0，即ab正确．(2)①成立．由ab0得aa－b0，所以1a－b1a.②成立．因为ab0，所以a＋bb0，所以1a＋b1b.题型三利用不等式的性质证明不等式例3(1)已知ab，ef，c0，求证：f－ace－bc；(2)已知ab0，cd0，求证：ba－cab－d；(3)已知bc－ad≥0，bd0.求证：a＋bb≤c＋dd.[证明](1)∵ab，c0，∴acbc.∴－ac－bc.∵fe，∴f－ace－bc.(2)∵cd0，∴－c－d0.又ab0，∴a－cb－d0.∴01a－c1b－d.再由0ba，∴ba－cab－d.(3)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd0，∴ab≤cd.∴ab＋1≤cd＋1.∴a＋bb≤c＋dd.金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件．(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．-7-[跟踪训练3](1)已知cab0，求证：ac－abc－b；(2)已知a，b，x，y都是正数，且1a1b，xy，求证：xx＋ayy＋b.证明(1)∵ab，∴－a－b，又cab0，∴0c－ac－b，∴1c－a1c－b0.又∵ab0，∴ac－abc－b.(2)∵a，b，x，y都是正数，且1a1b，xy，∴xayb，故axby，则ax＋1by＋1，即a＋xxb＋yy.∴xx＋ayb＋y.题型四利用不等式的性质求取值范围例4(1)已知2a≤5,3≤b10，求a－b，ab的取值范围；(2)已知－π2≤αβ≤π2，求α＋β2，α－β3的取值范围．[解](1)∵3≤b10，∴－10－b≤－3.又2a≤5，∴－8a－b≤2.又110＜1b≤13，∴15ab≤53.(2)∵－π2≤αβ≤π2，∴－π4≤α2π4，－π4β2≤π4.两式相加得－π2α＋β2π2.∵－π6≤α3π6，－π6β3≤π6，－π6≤－β3π6，两式相加得－π3≤α－β3π3.又αβ，∴α－β30，∴－π3≤α－β30.[变式探究]将本例(1)中，条件不变，求a＋b，ab的取值范围．解由2a≤5,3≤b＜10得-8-2＋3a＋b5＋10,2×3ab5×10，即5a＋b15,6ab50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用a的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝52(x＋y)－12(x－y)，所以需分别求出52(x＋y)，－12(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．[跟踪训练4]已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．解令a＋b＝μ，a－b＝v，则2≤μ≤4,1≤v≤2.由a＋b＝μ，a－b＝v，解得a＝μ＋v2，b＝μ－v2.因为4a－2b＝4·μ＋v2－2·μ－v2＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，而2≤μ≤4,3≤3v≤6，所以5≤μ＋3v≤10.所以5≤4a－2b≤10.1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是()A．mnB．mnC．m≥nD．m≤n-9-答案D解析∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.2．设a，b，c，d∈R，则()A．ab，c＝d⇒acbdB.acbc⇒abC．a3b3，ab0⇒1a1bD．a2b2，ab0⇒1a1b答案C解析用排除法，A错误，显然c＝d＝0时，结论不成立．B错误，c0时，结论不成立．D错误，a＝－2，b＝－1时，结论不成立．故选C.3．已知a0，－1b0，下列不等式成立的是()A．aabab2B．ab2abaC．abaab2D．abab2a答案D解析本题可以根据