2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理

-1-2.1.2演绎推理1．演绎推理从一种一般性的原理出发，推出□01某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简而言之，演绎推理是□02由一般到特殊的推理．2．演绎推理的一般模式(1)大前提——□03已知的一般原理；(2)小前提——□04所研究的特殊情况；(3)结论——□05根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．“三段论”常用的格式大前提：M是P.小前提：S是M.结论：□06S是P.4．用集合知识说明“三段论”若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么□07S中所有元素也都具有性质□08P.演绎推理的特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．()(2)演绎推理的结论一定是正确的．()-2-(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)用演绎推理证明“y＝sinx是周期函数”时的大前提是________，小前提是________．(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的________是错误的．(3)推理某一“三段论”，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，且推理形式正确，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断(选填“肯定”或“否定”)．答案(1)三角函数是周期函数y＝sinx是三角函数(2)小前提(3)否定探究1把演绎推理写成三段论的形式例1将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式an＝2n＋1表示的数列{an}为等差数列；(4)y＝sin2x的最小正周期是π.[解](1)∵平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提∴菱形的对角线互相平分．结论(2)∵等腰三角形两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∴∠A＝∠B.结论(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提通项公式an＝2n＋1时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋1－[2(n－1)＋1]＝2(常数)，小前提通项公式an＝2n＋1表示的数列为等差数列．结论(4)∵y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的最小正周期为T＝2πω，大前提y＝sin2x是上述形式的函数，小前提∴y＝sin2x的最小正周期为T＝2π2＝π.结论拓展提升-3-三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提．【跟踪训练1】把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)等边三角形的内角和是180°.解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC是直角三角形．结论(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提函数y＝2x＋5是一次函数，小前提函数y＝2x＋5的图象是一条直线．结论(3)三角形的内角和是180°，大前提等边三角形是三角形，小前提故等边三角形的内角和是180°.结论探究2演绎推理在几何中的应用例2在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．[证明](1)连接AC.(2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相等的两个三角形全等，这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，大前提△ABC和△CDA的三边对应相等，小前提则这两个三角形全等．结论符号表示为：AB＝CDBC＝DACA＝AC⇒△ABC≌△CDA.(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相当于：-4-对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等，大前提△ABC和△CDA全等，小前提则它们的对应角相等．结论用符号表示，就是△ABC≌△CDA⇒∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D.(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，大前提直线AB、DC被直线AC所截，内错角∠1＝∠2，小前提(已证)则AB∥DC.结论同理有：BC∥AD.(5)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，大前提四边形ABCD中，两组对边分别平行，小前提则四边形ABCD是平行四边形．结论用符号表示为：AB∥DC且AD∥BC⇒四边形ABCD为平行四边形．拓展提升数学问题的解决和证明都蕴涵着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．例如本例中每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论．【跟踪训练2】如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.请写出三段论形式的演绎推理．证明∵同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提∴FD∥AE.结论∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提∴四边形AFDE是平行四边形．结论∵平行四边形的对边相等，大前提-5-ED和AF是平行四边形AFDE的对边，小前提∴ED＝AF.结论探究3演绎推理在函数中的应用例3已知函数f(x)，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解](1)证明：∵x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设任意x1，x2∈R，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵当x0时，f(x)0，∴f(x2－x1)0，即f(x2)－f(x1)0，∴f(x)为减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，∴函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.拓展提升本题采用了典型的演绎推理，这并不是什么特殊值法，而是一段条理十分清晰透彻的三段论的证明．函数奇偶性与单调性的判断方法是解答本题的大前提．本题的解答过程除了演绎推理外，还应用了函数与方程的数学思想．【跟踪训练3】设函数f(x)＝exx2＋ax＋a，其中a为实数．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单调减区间．解(1)因为f(x)的定义域为R，所以x2＋ax＋a≠0恒成立．所以Δ＝a2－4a0，-6-所以0a4，即当0a4时，f(x)的定义域为R.(2)因为f′(x)＝xx＋a－2exx2＋ax＋a2.所以由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.因为0a4，所以当0a2时，2－a0.所以在(－∞，0)上，f′(x)0，在(0,2－a)上，f′(x)0.在(2－a，＋∞)上，f′(x)0.所以f(x)的单调减区间为(0,2－a)．当a＝2时，f′(x)≥0恒成立．所以f(x)没有单调减区间．当2a4时，2－a0.所以在(－∞，2－a)上，f′(x)0，在(2－a,0)上，f′(x)0，在(0，＋∞)上，f′(x)0.所以f(x)的单调减区间为(2－a,0)．综上：当0a2时，f(x)的单调减区间为(0,2－a)；当2a4时，f(x)的单调减区间为(2－a,0)．1.归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，前者是个别到一般、部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，推理的结论都有待进一步证明．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理体系所采用的推理形式．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.2.演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．但在数学中，合情推理的应用与演绎推理的应用一样广泛．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的.1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是()A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理答案B解析由特殊到一般的推理是归纳推理．2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：ab.证明：因为∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠A∠B.-7-所以ab.其中，划线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论答案B解析划线部分为具体问题的特殊条件，是小前提，最后得到结论，所以划线部分为小前提．故选B.3．定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证：f(x)是偶函数．证明：令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)．所以f(x)是偶函数．以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是________________________．答案若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数解析本题考查利用演绎推理证明代数问题，观察本题的证明过程，容易得到思路：通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．”4．由“(a2＋a＋1)x3，得x3a2＋a＋1”的推理过程中，其小前提是________．答案a2＋a＋10解析大前提是不等式的性质，小前提是a2＋a＋10.5．用三段论证明通项公式为an＝a1＋(n－1)d的数列{an}为等差数列．证明若数列{an}满足an＋1－an＝d(常数)，则数列{an}为等差数列，大前提通项公式为an＝a1＋(n－1)d的数列{an}，满足an＋1－an＝a1＋nd－a1－(n－1)d＝d，小前提所以通项公式为an＝a1＋(n－1)d的数列{an}为等差数列．结论