2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时

1第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系(教师独具内容)课程标准：1.理解函数零点的概念.2.会求函数的零点.3.能结合学过的函数图像，了解函数的零点与方程解的关系．教学重点：1.函数零点的概念.2.函数的零点与其对应方程解的关系．教学难点：1.求函数的零点.2.函数的零点与其对应不等式解集之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)在二次函数y＝x2－2x－3中令y＝0得x2－2x－3＝0，这是一个一元二次方程，那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图像有什么关系呢？【知识导学】知识点一函数零点的概念(1)一般地，如果□01函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即□02f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．(2)α是函数f(x)零点的充分必要条件是□03(α，0)是函数图像与x轴的公共点．知识点二二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(1)当Δ＝b2－4ac0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有□01两个元素□02x1，x2，且□03x1，x2是f(x)的□04两个零点，f(x)的图像与x轴有□05两个公共点□06(x1,0)，(x2,0)．(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中□07只有一个元素□08x0，且□09x0是f(x)□10唯一的零点，f(x)的图像与x轴有□11一个公共点．(3)当Δ＝b2－4ac0时，方程ax2＋bx＋c＝0□12没有实数根，此时f(x)□13无零点，f(x)的图像与x轴□14没有公共点．【新知拓展】1．函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根，是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)2(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点有关．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)下列各图像表示的函数中没有零点的是()(2)函数f(x)＝x2－5x的零点是________．答案(1)D(2)0和5题型一求函数的零点例1求下列函数的零点．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝x2＋4x－12x－2.[解](1)解方程x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程x2＋4x－12x－2＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.金版点睛求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法：(1)令f(x)＝0，方程f(x)＝0的根就是函数的零点；(2)画出函数f(x)的图像，图像与x轴交点的横坐标就是函数的零点．[跟踪训练1](1)若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点；3(2)求下列函数的零点：①y＝－x2－x＋20；②y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；③y＝x3－7x＋6；④f(x)＝x4－1.解(1)由题意，知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.(2)①令y＝0，即－x2－x＋20＝0，解得x1＝－5，x2＝4，所以所求函数的零点为－5,4.②令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，(x＋2)(x－2)·(x－1)(x－2)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，x3＝1，x4＝2，所以所求函数的零点为－2，2，1,2.③因为x3－7x＋6＝(x3－x)－(6x－6)＝x(x2－1)－6(x－1)＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)，所以由x3－7x＋6＝0，得x1＝－3，x2＝1，x3＝2，所以所求函数的零点为－3,1,2.④由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，所以方程x4－1＝0的实数根是x1＝－1，x2＝1.故函数的零点是－1,1.题型二函数零点的个数问题例2函数f(x)＝x＋2，x0，x2－1，x0的零点个数是()A．0B．1C．2D．3[解析]解法一：方程x＋2＝0(x0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.4解法二：画出函数f(x)＝x＋2，x0，x2－1，x0的图像，如图所示，观察图像可知，f(x)的图像与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．[答案]C金版点睛判断函数零点个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断．(2)结合函数图像进行判断．[跟踪训练2]设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，得16－4b＋c＝c，4－2b＋c＝－2.∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，2，x0.当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2.当x0时，f(x)＝2＝x，解得x＝2.∴方程f(x)＝x的解有3个．故选C.题型三利用函数的零点求不等式的解集例3利用函数求下列不等式的解集：(1)－2x2＋x－60；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－30.[解](1)设f(x)＝－2x2＋x－6，令f(x)＝0，得2x2－x＋6＝0，即2x－142＋478＝0，该方程无解．因此函数f(x)无零点，从而f(x)的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为R.5(2)设f(x)＝－x2＋6x－9，令f(x)＝0，得x2－6x＋9＝0，即(x－3)2＝0，从而x＝3.因此函数f(x)的零点为3，从而f(x)的图像与x轴相交于(3,0)，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为{3}．(3)设f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，从而x＝3或x＝－1.因此3和－1都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(3,0)和(－1,0)．又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可得所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．金版点睛利用函数的零点求不等式解集的一般步骤(1)根据所求不等式设出函数；(2)求出函数的零点；(3)根据函数的图像写出不等式的解集．[跟踪训练3]求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)x2－3x＋1≤0；(3)－4x2＋4x－10.解(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－13，x2＝4＋13，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13x4＋13}．(2)因为Δ＝9－4＝50，所以方程x2－3x＋1＝0有两个不等实数根x1＝3－52，x2＝3＋52，所以原不等式的解集为x3－52≤x≤3＋52.(3)设f(x)＝－4x2＋4x－1，令f(x)＝0，得4x2－4x＋1＝0，即(2x－1)2＝0，从而x＝12.因此函数f(x)的零点为12，从而f(x)的图像与x轴相交于12，0，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为∅.题型四函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点问题例4已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的a的取值范围．(1)函数f(x)没有零点；6(2)函数f(x)有两个零点；(3)函数f(x)有三个零点；(4)函数f(x)有四个零点．[解]函数y＝|x2－2x|的图像如图所示．(1)函数f(x)没有零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图像没有交点，观察图像可知，此时a0.(2)函数f(x)有两个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图像有两个交点，观察图像可知此时a＝0或a1.(3)函数f(x)有三个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图像有三个交点，由图像易知a＝1.(4)函数f(x)有四个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图像有四个交点，由图像易知0a1.金版点睛转化思想在求解函数零点问题中的应用求解函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点，求方程g(x)＝h(x)的实数根和求函数f(x)＝g(x)－h(x)的图像与x轴的交点坐标均可转化为探究函数g(x)和h(x)图像的交点情况．观察图像，数形结合，易于解决问题．[跟踪训练4]对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－1,1]∪(2，＋∞)B．(－2，－1]∪(1,2]C．(－∞，－2)∪(1,2]D．[－2，－1]答案B7解析令(x2－2)－(x－1)≤1，得－1≤x≤2，则f(x)＝x2－2，－1≤x≤2，x－1，x－1或x2.∵函数y＝f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，即函数f(x)的图像与直线y＝c恰有两个公共点．∴画出函数f(x)的图像(如图)可得实数c的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．1．函数y＝4x－2的零点是()A．2B．(－2,0)C.12，0D.12答案D解析令y＝4x－2＝0，得x＝12.∴函数y＝4x－2的零点为12.2．下列图像表示的函数中没有零点的是()答案A解析因为B，C，D函数的图像均与x轴有交点，所以函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．故选A.3．不等式6x2＋x－2≤0的解集为()A.－23，12B.－∞，－23∪12，＋∞C.12，＋∞D.－∞，－23答案A解析设f(x)＝6x2＋x－2，令6x2＋x－2＝0.得(2x－1)(3x＋2)＝0，从而x＝12或x＝8－23.由函数f(x)的图像可知所求不等式的解集为－23，12.故选A.4．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．答案－12，－13解析由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，∴2＋3＝a，2×3＝－b，即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－12，－13，即为函数g(x)的零点．5．利用函数求下列不等式的解集：(1)－x2＋7x6；(2)(5－x)(x＋1)≥0.解(1)由－x2＋7x6，得x2－7x＋60.设f(x)＝x2－7x＋6，令f(x)＝0，得x2－7x＋6＝0.解得x＝1或x＝6.因此函数的零点为1和6.由函数的图像可知，不等式x2－7x＋60的解集为(1,6)．故原不等式的解集为(1,6)．(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0.设f(x)＝(x－5)(x＋1)，则函数的零点为5，－1.由函数的图像可知不等式(x－5)(x＋1)≤0的解集为[－1,5]．故原不等式的解集为[－1,5]．