2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2 指数函数及其性质 第2课时

-1-第2课时指数函数及其性质的应用【基础练习】1．设x0，且1bxax，则()A．0ba1B．0ab1C．1baD．1ab【答案】B【解析】∵1bxax，x0，∴0a1,0b1.当x＝－1时，1b1a，即ba，∴0ab1.2．(2019年山东烟台模拟)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0【答案】D【解析】由f(x)＝ax－b的图象可知函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.3．若函数f(x)＝ax，x1，4－a2x＋2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(1,8)C．(4,8)D．[4,8)【答案】D【解析】由题意得a1，4－a20，a≥4－a2·1＋2，解得4≤a＜8.4．(2019年浙江宁波模拟)设y1＝40.7，y2＝80.45，y3＝12－1.5，则()A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3-2-C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2【答案】A【解析】因为y1＝40.7＝21.4，y2＝80.45＝21.35，y3＝12－1.5＝21.5，又函数y＝2x在R上为增函数，且1.35＜1.4＜1.5，所以21.35＜21.4＜21.5，即y2＜y1＜y3.故选A.5．若函数f(x)＝1x，x＜0，13x，x≥0，则不等式f(x)≥13的解集为________．【答案】{x|0≤x≤1}【解析】当x≥0时，由f(x)≥13，得13x≥13，∴0≤x≤1.当x＜0时，不等式1x≥13明显不成立，综上可知不等式f(x)≥13的解集是{x|0≤x≤1}．6．已知函数f(x)＝12|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．【答案】(－∞，1]【解析】f(x)＝12|x－1|＝12x－1，x≥1，2x－1，x1.由f(x)的图象得其单调递增区间为(－∞，1]．7．若函数f(x)＝ax－1(a0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．【解析】当a1时，f(x)在[0,2]上递增，∴f00，f22，即a0－1＝0，a2－1＝2，∴a＝±3.又a1，∴a＝3.当0a1时，f(x)在[0,2]上递减，∴f02，f20，即a0－1＝2，a2－1＝0，解得a∈∅，综上所述，a＝3.8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域．【解析】f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.∵－1≤x≤2，∴13≤t≤9.∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；-3-当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24.∴函数f(x)的值域为[－24,12]．【能力提升】9．已知实数a，b满足等式12a＝13b，给出下列五个关系式：①0ba；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】作y＝12x与y＝13x的图象．当a＝b＝0时，12a＝13b＝1；当ab0时，可以使12a＝13b；当ab0时，也可以使12a＝13b.故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.10．若方程14x＋12x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是()A．(－3,0)B．(0,1)C．(0,3)D．(3,6)【答案】A【解析】令12x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0,1)．方程转化为t2＋2t＋a＝0，∴a＝1－(t＋1)2.∵t∈(0,1)，∴a∈(－3,0)．11．(2019年浙江丽水模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．【答案】(－1,2)【解析】原不等式变形为m2－m＜12x，因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，所以12x≥12－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜12x恒成立，等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.12.已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3.(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.-4-【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝13x在R上是减函数，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.因此必有a＞0，12a－164a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.