2019-2020学年高中数学 模块能力检测卷 北师大版必修5

1模块能力检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在△ABC中，若2cosAsinB＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案A2．已知实数x满足x2＋x0，则x2，x，－x的大小关系是()A．－xxx2B．xx2－xC．x2x－xD．x－xx2答案B3．△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，则角A的度数等于()A．150°B．120°C．60°D．30°答案B4．(2013·江西)下列选项中，使不等式x1xx2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)答案A5．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝a3＋a92，Q＝a5·a7，则P与Q的大小关系是()A．PQB．PQC．P＝QD．无法确定答案A解析由题设知an0，q0且q≠1.所以a3≠a9，a30，a90，P＝a3＋a92a3·a9，因为a3·a9＝a5·a7，所以PQ.6．设数列{an}是由正项组成的等比数列，且a7·a8＝4，则log4a1＋log4a2＋…＋log4a14等于()A．5B．6C．7D．8答案C2解析log4a1＋log4a2＋…＋log4a14＝log4(a1a2·…·a14)＝log4(a7·a8)7＝log447＝7.7．等差数列{an}的公差d0，且a21＝a211，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是()A．5B．6C．5或6D．6或7答案C解析由题设可知a1＝－a11，所以a1＋a11＝0.所以a6＝0.因为d0，故a50，a70，所以n＝5或6.8.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m答案A9．△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，其面积为3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝()A．33B.2393C.2633D.392答案B解析∵∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，∴12·b·csinA＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，∴a＝13.∴a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝1332＝2393.10．设实数x，y满足x－4y＋4≥0，2x－3y－2≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为1，则log2(1a＋2b)的最小值为()A．2B．4C.12D．33答案B解析作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．考虑z＝ax＋by(a0，b0)，将它变形为y＝－abx＋zb，这时斜率为－ab0，随z变化的一组平行直线.zb是直线在y轴上的截距．结合图形可知，当直线y＝－abx＋zb经过点A时，截距zb最大．解方程组x－4y＋4＝0，2x－3y－2＝0得A的坐标为(4，2)，所以zmax＝ax＋by＝4a＋2b＝1，1a＋2b＝(1a＋2b)(4a＋2b)＝8＋2ba＋8ab≥8＋22ba×8ab＝16，当且仅当2ba＝8ab，即a＝18，b＝14时等号成立．所以1a＋2b有最小值16.所以log2(1a＋2b)的最小值为4.11．等差数列{an}中，d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a31＝50，那么a2＋a6＋a10＋…＋a42的值为()A．60B．－82C．182D．－96答案B解析a2＋a6＋a10＋…＋a42＝a1＋d＋a4＋2d＋a7＋3d＋…＋a31＋11d＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(d＋2d＋3d＋…＋11d)＝50＋11×122d＝50＋66d＝－82.12．制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的钢管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是()4A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m答案C解析设直角三角形两直角边为xm，ym，则12xy＝1.∴x＋y＋x2＋y2≥2xy＋2xy＝22＋2≈4.828.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知不等式x2＋bx－b－340的解集为R，则b的取值范围是________．答案(－3，－1)解析由题知b2－4(－b－34)0，即b2＋4b＋30，所以－3b－1.14．在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则S15＝________．答案－30解析因为a4＋a12＝a1＋a15＝2a8，所以a8＝－2.所以S15＝a1＋a152×15＝a8×15＝－2×15＝－30.15．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________．答案－78解析根据等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8，7－8，S9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S9－7)，解得S9＝718.所以a4＋a5＋…＋a9＝S9－S3＝718－8＝－78.16．已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为AB︵的中点，点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝269，则OD＋OE的最大值是________．答案43解析在△COD中，由余弦定理，得CD2＝1＋OD2－OD，同理在△EOC，△DOE中，由余弦定理分别得CE2＝1＋OE2－OE，DE2＝OE2＋OD2＋OD·OE，代入CD2＋CE2＋DE2＝269整理得2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－89＝3OD·OE，由基本不等式，得3OD·OE≤3（OD＋OE）24，所以2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－89≤3（OD＋OE）24，解得0≤OD＋OE≤43，即OD＋OE的最大值是43.三、解答题(本大题共6小题，共70分)517．(本小题满分10分)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，若△ABC面积为32，c＝2，A＝60°，求a、b及角C的值．解析因为S＝12bcsinA＝32，所以12b·2sin60°＝32，得b＝1.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，所以a2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，则a＝3.又由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝2×323＝1，∴C＝90°.18．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝b1＝1，b4＝8，S10＝55.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求Sn与Tn.解析(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由S10＝55，得10a1＋45d＝55.又a1＝1，所以10＋45d＝55，d＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝n.由b4＝8，得b1·q3＝8.又b1＝1，所以q3＝8，q＝2.即bn＝b1·2n－1＝2n－1.(2)Sn＝（a1＋an）n2＝1×（1－2n）1－2＝12n2＋12n.Tn＝b1（1－qn）1－q＝（1－2n）1－2＝2n－1.19．(本小题满分12分)若a≠0，解关于x的不等式：x＋2a(2x＋1)．解析原不等式可化为（x＋2）（x－a）x0⇔(x＋2)x(x－a)0，(1)当a≤－2时，解集为(－∞，a)∪(－2，0)；(2)当－2a0时，解集为(－∞，－2)∪(a，0)；(3)当a0时，解集为(－∞，－2)∪(0，a)．620．(本小题满分12分)某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元．若使每个同学游8次，那么购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？解析设购买x张游泳卡，则游泳活动总支出为y＝48×8x×40＋240x，即y＝240(64x＋x)(x∈N*)．所以y＝240(64x＋x)≥240×264x·x＝3840.当且仅当64x＝x，即x＝8时，最合算，每人最少交钱384048＝80元．即：购买8张游泳卡最合算，每人最少交80元．21．(本小题满分12分)台湾是祖国不可分割的一部分，祖国的统一是两岸人民共同的愿望，在台湾海峡各自的海域内，当大陆船只与台湾船只相距最近时，两船均相互鸣笛问好，一天，海面上离台湾船只A的正北方向100nmile处有一大陆船只B正以每小时20nmile的速度沿北偏西60°角的方向行驶，而台湾船只A以每小时15nmile的速度向正北方向行驶，若两船同时出发，问几小时后，两船鸣笛问好？解析设xh后，B船至D处，A船至C处，BD＝20x，BC＝100－15x，∵x0，100－15x0，∴0x203.由余弦定理，得DC2＝(20x)2＋(100－15x)2－2·20x·(100－15x)·cos120°＝325x－1000x＋10000＝325(x－2013)2＋10000－1000013(0x203)．∴x＝2013h后，两船最近，可鸣笛问好．22．(本小题满分12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？解析设A厂工作x小时，B厂工作y小时，总工作时数为t小时，则目标函数t＝x＋y，x，7y满足x＋3y≥40，2x＋y≥20，x≥0，y≥0.可行域如图所示，而符合题意的解为此可行域内的整点，于是问题变为要在此可行域内，找出整点(x，y)，使t＝x＋y的值最小．由图知当直线l：y＝－x＋t过Q点时，纵截距t最小．解方程组x＋3y＝40，2x＋y＝20，得Q(4，12)．答：A厂工作4小时，B厂工作12小时，可使所费的总工时最少．