2019-2020学年高中数学 课时作业7 等比数列（第一课时） 北师大版必修5

1课时作业(七)1．下列说法中正确的是()A．数列{2an}是等比数列(n∈R)B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列C．若－ab＝－bc，则－a，b，－c成等比数列D．若数列{an}的相邻两项满足关系式an＝an－1q(q为常数)，则数列{an}为等比数列答案C2．等比数列{an}中，a1＝4，a2＝8，则公比等于()A．1B．2C．4D．8答案B解析∵a1＝4，a2＝8，∴公比q＝a2a1＝2.3.28是等比数列42，4，22，…的()A．第10项B．第11项C．第12项D．第13项答案B4．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为、()A．3B．4C．5D．6答案B解析98·(23)n－1＝13，∴(23)n－1＝827＝(23)3，∴n＝4.5．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．243答案A解析∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，2则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1.∴a7＝a1q6＝26＝64.6．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝±3，ac＝9答案B解析由条件知a2＝－b，b2＝ac＝9，c2＝－9b，∵a2≥0，a≠0，∴a20，∴b0，∴b＝－3，故选B.7．若等比数列{an}的公比为2，则2a1＋a22a3＋a4的值为()A．1B.12C.14D.18答案C解析∵(2a1＋a2)·q2＝2a3＋a4，∴2a1＋a22a3＋a4＝1q2＝14。8．如果a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，那么x1＋x2y1y2等于()A.a＋ba－bB.b－aabC.aba＋bD.a＋bab答案D解析x1＋x2＝a＋b，y1y2＝ab，故选D.9．在等比数列{an}中，an0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16B．27C．36D．81答案B解析设公比为q，由题意，得a1＋a1q＝1，a1q2＋a1q3＝9，3∴q2＝9，∵an0，∴q＝3.∴a1＝14，∴a4＝a1q3＝274，a5＝a1q4＝814.∴a4＋a5＝274＋814＝1084＝27.10．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x1时，logax，logbx，logcx()A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列答案C解析1logax＋1logcx＝logxa＋logxc＝logx(ac)＝logxb2＝2logxb＝2logbx，∴1logax，1logbx，1logcx成等差数列．11．在等比数列{an}中，若a4＝2，a7＝16，则an＝________．答案2n－3解析∵a1·q3＝2，a1·q6＝16，∴q3＝8，q＝2，∴a1＝14.∴an＝a1·qn－1＝14·2n－1＝2n－3.12．若数列{an}为等差数列，数列{2an}为________数列；若数列{an}为等比数列，且an0，则数列{lgan}为________数列．答案等比；等差解析①若数列{an}为等差数列，设公差为d，则2an＋12an＝2an＋1－an＝2d，∴{2an}为等比数列；②若数列{an}为等比数列，设公比为q，则lgan＋1－lgan＝lgan＋1an＝lgq.∴{lgan}为等差数列．413．(2015·天津高一检测)已知三个数1m，1，1n成等差数列，又三个数m2，1，n2成等比数列，则1m＋n的值为________．答案±12解析由条件知1m＋1n＝2，即m＋nmn＝2，又m2n2＝1，所以mn＝1或mn＝－1，从而m＋n＝2或m＋n＝－2，因而1m＋n＝±12.14．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n.解析设公比为q，则q＝a4＋a7a3＋a6＝12.又a1122＋a1125＝36，∴a1＝128.∵an＝a1qn－1，∴12＝128·12n－1，∴n＝9.15．(2013·四川)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．解析设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝3n2－n2.16．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解析(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2.∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，设{bn}的公差为d，则有5b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得b1＝－16，d＝12.从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.∴数列{bn}的前n项和Sn＝n（－16＋12n－28）2＝6n2－22n.例1已知a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c成等比数列，其公比为q，求1＋q＋q2＋q3的值．【思路分析】根据所给的条件建立方程组，可求出a，b，c，q，但这样做难度太大，计算繁琐，注意到等比数列的通项公式，便不难求解．【解析】由等比数列通项公式可知，a2＝a1q，即a2a1＝q，同理有a3a1＝q2，a4a1＝q3.∴1＋q＋q2＋q3＝1＋a2＋a3＋a4a1＝1＋b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－ca＋b＋c＝2.【讲评】本例中没有直接求出q，再求和，而是用a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c来表示q，q2，q3，进而轻易地得到了答案，解法之妙，令人拍案！你想到了这种妙解吗？你领悟了这其中所蕴含的数学思想方法吗？例2等差数列{an}的公差不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则a1＋a2＋a4a2＋a4＋a8＝________．【解析】可设{an}的通项为an＝n，则a1＋a2＋a4a2＋a4＋a8＝714＝12【答案】12.例3设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，求a3a6a9…a30的值．【解析】因为a1a2a3…a30＝a1(a1q)…(a1q29)＝a130q1＋2＋3＋…＋29＝a130q30×292，由已知条件，得a130q30×292＝230，所以a1q292＝2.所以a1＝2q－292＝2×2－292＝2－272.所以a3a6a9…a30＝(a1q2)(a1q5)…(a1q29)＝a110q2＋5＋8＋…＋29＝a110q31×102＝2－627×102·231×102＝220.