江苏省扬州市2020届高三数学上学期期中调研测试试题（含解析）

1江苏省扬州市2020届高三数学上学期期中调研测试试题（含解析）第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{3，4}，B＝{1，2，3}，则AB＝．答案：{1，2，3，4}考点：集合的并集解析：∵集合A＝{3，4}，B＝{1，2，3}，∴AB＝{1，2，3，4}．2．若(3i)2iz(i为虚数单位)，则复数z＝．答案：11i22考点：复数解析：∵(3i)2iz∴222i(2i)(3i)i5i65i511i3i(3i)(3i)9i1022z．3．函数3xmy(mR)是偶函数，则m＝．答案：0考点：函数的奇偶性解析：∵函数3xmy关于直线x＝m对称，且是偶函数∴直线x＝m与y轴重合，即m＝0．4．双曲线1422xy的渐近线方程为．答案：2yx考点：双曲线的渐近线解析：根据双曲线22221yxab(a＞0，b＞0)的渐近线方程为ayxb，得双曲线1422xy的渐近线方程为2yx．5．抛物线xy42上横坐标为4的点到焦点的距离为．答案：5考点：抛物线的定义解析：抛物线xy42的焦点坐标为(1，0)，准线为x＝﹣1，2则抛物线上横坐标为4的点到准线的距离为5，根据抛物线的定义，该点到抛物线焦点的距离为5．6．设函数2ln,0()1,02xxxfxx，则2(())ffe＝．答案：16考点：分段函数解析：∵20e∴22()2ln40fee，则241(())(4)162ffef．7．直线062yax与直线2(1)10xaya平行，则两直线间的距离为．答案：655考点：平行直线及其距离解析：∵直线062yax与直线2(1)10xaya平行，∴(1)20aa，22(1)6(1)0aa，解得a＝﹣1，此时两直线方程为：260xy与20xy，则两直线间的距离为2261(2)＝655．8．函数1()xxfxe的极大值是．答案：1考点：利用导数研究函数的极值解析：∵1()xxfxe∴()xxfxe当x＜0时，()fx＞0，()fx在(，0)单调递增，当x＞0时，()fx＜0，()fx在(0，)单调递减，∴当x＝0时，()fx有极大值010(0)1fe．39．将函数xycos的图象向右平移2个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()fx的图象，则()6f＝．答案：32考点：三角函数的图像变换解析：函数xycos的图象向右平移2个单位后，的函数cos()sin2yxx，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得()sin2fxx，故3()sin632f．10．梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝AB＝3DC＝3，若M为线段BC的中点，则AMBD的值是．答案：﹣32考点：平面向量数量积解析：以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，得A(0，0)，B(3，0)，C(1，3)，D(0，3)，M(2，32)则AM＝(2，32)，BD＝(﹣3，3)，∴AMBD＝(2，32)·(﹣3，3)＝2×(﹣3)＋32×3＝﹣32．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，sin2A﹣sin2B＝3sin2C，cosA＝13，则△ABC的面积是．答案：2考点：正弦定理，余弦定理解析：由正弦定理可将sin2A﹣sin2B＝3sin2C转化为2223abc，4由余弦定理得：2222cosAabcbc，将b＝3，cosA＝13，代入上面两个式子，并化简可得：22223929acacc，解得：1c，∵cosA＝13，∴sinA＝223，∴S＝1sinA2bc＝1223123＝2．12．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，直线l：50kxyk上存在点P，使得PA2＋2PB2＝9成立，则实数k的取值范围是．答案：[1515，1515]考点：直线与圆的位置关系解析：设P(x，y)，根据PA2＋2PB2＝9得：2222(1)2[(2)]9xyxy，化简得：22(1)1xy，故点P在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上，又点P在直线l：50kxyk上，故2411kk，化简得：2151k，则15151515k，综上所述，实数k的取值范围是[1515，1515]．13．已知实数x，y满足23y且04296yxxy，则yx3的最小值是．答案：12+2考点：基本不等式解析：∵04296yxxy，∴31(31)()22xy，5∴3(31)()22xy，当且仅当226232xy取“＝”，故132+2xy，综上所述，yx3的最小值是12+2．14．已知关于x的不等式2(1)0xxkee有且仅有三个整数解，则实数k的取值范围是．答案：(e，213e]考点：利用导数研究函数存在性问题（不等式整数解）解析：令2()(1)xfxxkee，则()()xfxexk当x＜k时，()0fx，此时()fx在(，k)单调递减；当x＞k时，()0fx，此时()fx在(k，)单调递增．∴当x＝k时，()fx有最小值为2kee，显然2(1)0xxkee有解，则2kee＜0，则k＞2，此时2(2)(2)0fke，故x＝2是原不等式的整数解，①当(1)0f时，即20kee时，2＜k≤e，此时4242(4)(3)(3)0fkeeeee，故此时最多有两个整数解；②当(1)0f时，即20kee时，k＞e，此时323222(3)(2)(2)(21)0fkeeeeeeee，故x＝1，2，3是原不等式的整数解，则242(0)10(4)(3)0fkefkee，解得22113keke，故e＜k≤213e，综上所述，实数k的取值范围是(e，213e]．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）615．（本题满分14分）已知关于x的不等式031xx的解集为A，函数22()24fxxmxm的定义域为集合B（其中Rm）．（1）若0m，求BA；（2）若RBAð，求实数m的取值范围．16．（本题满分14分）已知(0，2)，3cos5．（1）求tan()4的值；（2）求sin(2)6的值．717．（本题满分15分）已知圆C：22(2)4xy，直线l过点A(﹣3，0)．（1）若l与圆C相切，求l的斜率k；（2）当l的倾斜角为4时，l与y轴交于点B，l与圆C在第一象限交于点D，设ABBD，求实数的值.818．（本题满分15分）为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC，BD是圆的直径，E，F在弦AB上，H，G在弦CD上，圆心O是矩形EFGH的中心，若2EF3米，∠AOB＝2，5412．（1）当3时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值．919．（本题满分16分）如图，已知椭圆012222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P(355，455)．（1）求椭圆的方程；（2）过y轴正半轴上一点A(0，t)作斜率为k(k＞0)的直线l．①若l与圆和椭圆都相切，求实数t的值；②直线l在y轴左侧交圆于B、D两点，与椭圆交于点C、E（从上到下依次为B、C、D、E），且AB＝DE，求实数t的最大值．101120．（本题满分16分）已知函数2()ln22fxxaxaxa(aR)．（1）当1a时，求函数()fx在1x处的切线方程；（2）是否存在非负整数a，使得函数()fx是单调函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）已知()()3gxfxx，若存在b(1，e)，使得当x(0，b]时，()gx的最小值是()gb，求实数a的取值范围．（注：自然对数的底数2.71828e）1213第II卷（附加题，共40分）21．（10分）已知向量11是矩阵1A03a的属于特征值的一个特征向量．（1）求实数,a的值；（2）求2A．1422．（10分）一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球，现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中．（1）求两次取得的球颜色相同的概率；（2）若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X，求X的概率分布列与数学期望XE．23．（10分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2，点E、F分别在棱AA1、BB1上移动，且1AEAA，11BFBB．（1）若21，求异面直线CE与C1F所成角的余弦值；15（2）若二面角A—EF—C的大小为，且552sin，求的值．1624．（10分）设1111nkknnkSkC，*nkN，．（1）求21SS，32SS；（2）猜想nknkS11的值，并加以证明．17