2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量检测试题 新人教A版必修4

-1-第二章平面向量检测试题(时间:120分钟满分:150分)选题明细表知识点、方法题号平面向量的基本概念16共线向量3,4,7,14,17线性运算1,5,13,18数量积及应用2,4,8,9,10,11,14,20平面向量的应用6,12,15,19,21,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知O,A,B,C,D是平面内不同的5个点,下列各式化简后不等于的是(C)(A)-+(B)++(C)+-(D)2(+)解析:A.-+=+=;B.++=+=;C.+-=2+;D.2(+)=2+=,故选C.2.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于(D)(A)(B)(C)2(D)3解析:因为|a-2b|=2,-2-所以a2-4a·b+4b2=28,即4-4|b|+4|b|2=28,解得|b|=3.故选D.3.已知向量a=(2,1),b=(3,m),若(2a+b)∥b,则m的值是(A)(A)(B)-(C)(D)-解析:由向量a=(2,1),b=(3,m),得2a+b=2(2,1)+(3,m)=(7,2+m),由(2a+b)∥b,得7m-3(2+m)=0,解得m=.4.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·(a-2b)等于(D)(A)-1(B)1(C)-3(D)3解析:a2=1,a·b=1×2×cos120°=-1,则a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2×(-1)=3.故选D.5.三角形的角平分线定理:在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,则=.已知点O在AD上,满足=2,AC=2,BC=4,AB=3.且=x+y,利用三角形的角平分线定理可求得x+y的值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:因为==.所以=,==(+)=(+-)=(+).-3-所以x+y=(+)=.故选D.6.已知直线4x+3y+27=0,则过点A(1,1)与该直线垂直的直线方程为(C)(A)4x-3y+1=0(B)4x+3y+1=0(C)3x-4y+1=0(D)3x+4y+1=0解析:在所求直线上任取一点P(x,y),则=(x-1,y-1),又直线4x+3y+27=0的一个方向向量为n=(1,-),所求直线与4x+3y+27=0垂直,所以·n=0,即(x-1)×1+(-)·(y-1)=0,化简得3x-4y+1=0,故选C.7.设a,b是不共线的两个向量,已知=a+2b,=4a-4b,=-a+2b,则(B)(A)A,B,D三点共线(B)A,C,D三点共线(C)A,B,C三点共线(D)B,C,D三点共线解析:因为=a+2b,所以=-a-2b,又=4a-4b,所以=+=3a-6b=-3(-a+2b)=-3.所以A,C,D三点共线.故选B.8.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,E是CD上一点,且·=1,则·的值为(B)(A)3(B)2(C)(D)解析:设与的夹角为θ,则与的夹角为-θ,-4-又∥,故有与夹角为-θ,如图:因为·=||·||·cosθ=||·cosθ=1,所以||·cosθ=,所以·=||cos(-θ)=||sinθ=1,所以·=·(+)=·+·=1+1=2.故选B.9.已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-,则λ等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:·=(+)·(+)=[+(1-λ)]·(+λ)=-,所以4λ2-4λ+1=0.所以λ=.故选A.10.已知非零向量,和满足(+)·=0且=,则△ABC为(D)(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形-5-解析:因为,分别表示与,同向的单位向量.所以以,为邻边的平行四边形为菱形.所以表示向量+的有向线段在∠A的平分线上.所以由(+)·=0知∠A的平分线垂直于BC,所以△ABC为等腰三角形.又=cosC=,所以∠C=,从而可知∠A=,所以△ABC为等腰直角三角形.故选D.11.已知平面内的向量,满足:||=1,(+)·(-)=0,且与的夹角为120°,又=λ1+λ2,0≤λ1≤1,1≤λ2≤3,则由满足条件的点P所组成的图形面积是(B)(A)2(B)(C)1(D)解析:平面内的向量,满足:||=1,(+)·(-)=0,所以||=1.又与的夹角为120°,所以以,为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形OACB.-6-延长OB到M点,使=2,以BC,BM为邻边作平行四边形BCNM.又=λ1+λ2,0≤λ1≤1,1≤λ2≤3,则由满足条件的点P所组成的图形是平行四边形BCNM.其面积是2S平行四边形OACB=2×12sin120°=.故选B.12.已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是(A)(A)[-1,+1](B)[-1,+2](C)[1,+1](D)[1,+2]解析:因为a,b是单位向量,a·b=0,所以令a=(1,0),b=(0,1),设c=(x,y),则c-a-b=(x,y)-(1,0)-(0,1)=(x-1,y-1),又|c-a-b|=1,所以(x-1)2+(y-1)2=1,如图所示,|c|=表示原点到圆上点的距离,||==,-1≤|c|≤+1.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=-a-b;②=-a+b;③=a+b;④++=0,其中正确命题的序号为.-7-解析:=+=+=-b+a,则①错误.=-a+b,则②正确.=a+b,则③正确.++=-b+a-a+b+a+b=0,则④正确.答案:②③④14.在△OAB中,点C满足=2,设=a,=b,则=(用a,b表示).解析:△OAB中,点C满足=2,设=a,=b,则=,所以-=(-),所以=b+a.答案:b+a15.在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·的取值范围为.解析:不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,-8-则B(0,0),A(0,2),C(2,0),线段AC的方程为x+y-2=0(0≤x≤2).设M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由题意可知0a1),所以=(a,2-a),=(a+1,1-a),所以·=a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2=2(a-)2+,因为0a1,所以由二次函数的知识可得·∈[,2).答案:[,2)16.下列命题中:①a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R,使得b=λa;②e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e;③|a·a·a|=|a|3;④a与b共线,b与c共线,则a与c共线;⑤若a·b=b·c且b≠0,则a=c.其中正确命题的序号是.解析:①中,因为a=b=0时,λ不唯一,故①错;④中当b=0时,a∥b且b∥c⇒/a∥c,故④不正确;⑤中a·b=b·c⇒|a|·|b|cosθ1=|b|·|c|·cosθ2(θ1,θ2分别为a与b及b与c的夹角),又|b|≠0,所以|a|·cosθ1=|c|·cosθ2⇒/a=c,故⑤不正确;只有②③正确.答案:②③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)-9-已知向量a=(-2,2),b=(2,1),c=(2,-1),t∈R,(1)若(ta+b)∥c,求t的值;(2)若|a-tb|=3,求t的值.解:(1)因为a=(-2,2),b=(2,1),c=(2,-1),所以ta+b=(2-2t,1+2t).因为(ta+b)∥c,所以2(1+2t)+(2-2t)=0,解得t=-2.(2)|a-tb|====3,解得t=-1或t=.18.(本小题满分12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示;(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.解:(1)m=8时,=(8,3),设=λ1+λ2,所以(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1)所以解得所以=-3+.-10-(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.19.(本小题满分12分)某人在静水中游泳,速度为4km/h,水流速度为4km/h.(1)如果他径直游向河对岸,他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?解:(1)如图(1),设人游泳的速度为,水流速度为,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=,根据勾股定理,||=8,且在Rt△CAO中∠COA=60°,故此人沿与河岸夹角为60°,顺着水流的方向前进,速度大小为8km/h.(2)如图(2),设此人的实际速度为,水流速度为,游速=-,在Rt△AOB中,||=4,||=4,-11-||=4,cos∠BAO=,故此人沿与河岸夹角为θ(其中cosθ=)且逆着水流方向前进,实际速度大小为4km/h.20.(本小题满分12分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6,所以cosθ===-.又0≤θ≤π,所以θ=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为与的夹角θ=,-12-所以∠ABC=π-=.又||=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=||||·sin∠ABC=×4×3×=3.21.(本小题满分12分)如图,在△OBC中,A是边BC的中点,||=2||,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量,;(2)若=λ,求实数λ的值.解:(1)=+=+2=+2(-)=2-=2a-b;=+=+2(-)=2-=2a-b.(2)设=μ=2μa-μb,则=+=2a-b+2μa-μb=(2+2μ)a-(1+μ)b,又=λ=λa,所以-13-解得λ=.22.(本小题满分12分)如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,且=2.M是线段CE上一动点.(1)若M是线段CE的中点,=m+n,求m+n的值;(2)若AB=9,·=43,求(+2)·的最小值.解:(1)因为M是线段CE的中点,=2,所以=+=+=+(-)=(+)=(++)=+=m+n,因为与不共线,所以m=,n=,则m+n=.(2)建立如图直角坐标系,则A(0,0),E(6,0),B(9,0),设C(9,m),m0.则=(-9,-m),=(-3,-m),·=27+m2=43,所以m=4,-14-所以C(9,4),因为M在线段CE上,设=λ,0≤λ≤1.M(x,y),则=(x-9,y-4),=(-3,-4),x-9=-3λ,y-4=-4λ,所以x=9-3λ,y=4-4λ.即M(9-3λ,4-4λ),所以=(3λ-9,4λ-4),=(3λ,4λ-4),+2=(9λ-9,12λ-12),=(3λ,4λ),(+2)·=27λ2-27λ+48λ2-48λ=75(λ2-λ)=75(λ-)2-,0≤λ≤1.所以当且仅当λ=时,(+2)·有最小值-,从而(+2)·的最小值为-.