2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.2.1 正弦函数、余弦函数的性质（一

1第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．1．周期函数(1)周期函数的概念(2)最小正周期温馨提示：对周期函数的三点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性21．生活中，有很多“周而复始”的现象，你能举出几个常见的例子吗？[答案]每天的日出日落，四季更替，每周上课用的课程表等2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于sinπ2＋π4＝sinπ4，则π2是函数y＝sinx的一个周期．()(2)因为sinx3＋4π＝sinx3，所以函数y＝sinx3的周期为4π.()(3)对任意实数x，若有f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是周期函数，T＝1是f(x)的一个周期．()(4)函数y＝sinπ2x是奇函数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√题型一正、余弦函数的周期性【典例1】求下列函数的最小正周期．(1)f(x)＝cos2x＋π3；(2)f(x)＝|sinx|.[思路导引]求三角函数周期时可利用定义f(x＋T)＝f(x)，也可用公式T＝2π|ω|，还可以利用图象求解．[解](1)解法一：定义法∵f(x)＝cos2x＋π3＝cos2x＋π3＋2π＝cos2x＋π＋π3＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝cos2x＋π3的最小正周期为π.3解法二：公式法∵y＝cos2x＋π3，∴ω＝2.又T＝2π|ω|＝2π2＝π.∴函数f(x)＝cos2x＋π3的最小正周期为π.(2)解法一：定义法∵f(x)＝|sinx|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为π.解法二：图象法函数y＝|sinx|的图象如图所示，由图象可知最小正周期为π.求三角函数最小正周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．[针对训练]1．求下列函数的周期．(1)y＝3sinπ2x＋3；(2)y＝|cosx|.[解](1)∵y＝3sinπ2x＋3，∴ω＝π2.又T＝2π|ω|＝2ππ2＝4，4∴函数y＝3sinπ2x＋3的周期T＝4.(2)∵f(x)＝|cosx|，∴f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|＝f(x)，∴f(x)＝|cosx|的周期T＝π.题型二正、余弦函数的奇偶性【典例2】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin3x4＋3π2；(2)f(x)＝sin|x|；(3)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.[思路导引]首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．[解](1)因为函数的定义域为R，f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．(2)因为函数的定义域为R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．(3)由1－cosx≥0，cosx－1≥0，得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．判断函数奇偶性应把握好2个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．要特别注意化简前后式子的等价性．5[针对训练]2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝xsinπ2＋x；(2)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx；(3)f(x)＝2sin2x＋3π2.[解](1)函数f(x)＝xsinπ2＋x的定义域为R.∵f(x)＝xsinπ2＋x＝xcosx，∴f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)函数应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为xx∈R且x≠2kπ＋32π，k∈Z.∵函数的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)f(x)＝2sin2x＋3π2＝－2cos2x，定义域为R.∵f(－x)＝－2cos(－2x)＝－2cos2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数.题型三正、余弦函数周期性与奇偶性的应用【典例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，求f5π3的值．[思路导引]解决此类问题的关键是利用函数的周期性与奇偶性，将x化到可求值区间内．[解]∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3.∵f(x)是R上的偶函数，6∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.∴f5π3＝32.[变式]本例中的“偶函数”改为“奇函数”其他条件不变．结果如何？[解]∵f(x)最小正周期为π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3.∵f(x)为奇函数，∴f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－32，∴f5π3＝－32.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．[针对训练]3．函数f(x)＝sin2x－π2是周期为________的________(奇或偶)函数．[解析]∵f(x)＝sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos2x，∴周期T＝2π2＝π，y＝cos2x为偶函数．故f(x)是周期为π的偶函数．[答案]π偶课堂归纳小结1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|.(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω0，x∈R)的周期T＝2πω.72.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用.1．函数y＝2sinx＋5的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π[解析]函数y＝2sinx＋5的最小正周期就是函数y＝sinx的最小正周期，即2π1＝2π，故选C.[答案]C2．函数y＝cos－12x＋π2的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数[解析]函数的定义域为R，且y＝cos－12x＋π2＝sin12x，故所给函数是奇函数．[答案]A3．已知函数f(x)＝sinπx－π2－1，则下列命题正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数[解析]∵f(x)＝sinπx－π2－1＝－sinπ2－πx－1＝－cos(πx)－18∴T＝2ππ＝2，而f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[答案]B4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，fπ4＝1，则f3π4的值为()A．1B．－1C．0D．2[解析]由题意得f3π4＝fπ－π4＝f－π4＝－fπ4＝－1.[答案]B5．函数y＝cosk4x＋π3(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．[解析]由题意得2πk4＝8πk≤2，∴k≥4π.∴正整数k的最小值为4π.[答案]4π课后作业(四十四)复习巩固一、选择题1．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinxB．y＝sin2xC．y＝cosx2D．y＝cos4x[解析]∵T＝π2＝2π|ω|，∴|ω|＝4，而ω0，∴ω＝4.[答案]D2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于()A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线x＝π2对称[解析]y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函数图象关于原点对称．[答案]B93．函数f(x)＝3sin23x＋15π2是()A．周期为3π的偶函数B．周期为2π的偶函数C．周期为3π的奇函数D．周期为4π3的偶函数[解析]∵f(x)＝3sin23x＋6π＋π＋π2＝3sinπ＋π2＋2x3＝－3sinπ2＋23x＝－3cos23x∴T＝2π23＝3π，而f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．[答案]A4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x),f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是()[解析]由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.[答案]B5．函数y＝|sinx|1－sinx1－sinx的奇偶性为()A．奇函数B．既是奇函数也是偶函数C．偶函数D．非奇非偶函数[解析]由题意知，当1－sinx≠0，即sinx≠1时，10y＝|sinx|1－sinx1－sinx＝|sinx|，所以函数的定义域为x|x≠2kπ＋π2，k∈Z，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．[答案]D二、填空题6．函数f(x)＝sinωx＋π6的最小正周期为π5，其中ω0，则ω＝________.[解析]依题意得π5＝2πω，∴ω＝10.[答案]107．f(x)＝sinxcosx是________(填“奇”或“偶”)函数．[解析]x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．[答案]奇8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为3π2，且满足f(x)＝cosx，－π2≤x0sinx，0≤xπ，则f－15π4＝________.[解析]∵T＝3π2，∴f－15π4＝f－15π4＋3π2×3＝f3π4＝sin3π4＝22.[答案]22三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3cos2x；(2)f(x)＝sin2x3＋π2＋2；(3)f(x)＝x·cosx.[解](1)因为x∈R，11f(－x)＝3cos(－2x)＝3cos2x＝f(x)，所以f(x)＝3cos2x是偶函数．(2)因为x∈R，f(x)＝sin2x3＋π2＋2＝cos2x3＋2，所以f(－x)＝cos2－x3＋2＝cos2x3＋2＝f(x)，所以函数f(x)