（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题一 解题常用8术系统归纳 第1讲 探求思路

1第1讲探求思路，图作向导方法概述对题设条件不够明显的数学问题求解，注重考查相关的图形，巧用图形作向导是从直观入手领会题意的关键所在.尤其是对一些复合函数、三角函数、不等式等形式给出的命题，其本身虽不带有图形，但我们可换个角度思考，设法构造相应的辅助图形进行分析，将代数问题转化为几何问题来解.力争做到有图用图，无图想图，补形改图，充分运用其几何特征的直观性来启迪思维，从而较快地获得解题的途径.这就是我们常说的图解法应用题型选择题、填空题、解答题中均有应用，主要涉及最值、不等式、取值范围等问题应用（一）求解函数问题[例1](1)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.(2)函数f(x)＝sinx，对于x1＜x2＜…＜xn，且x1，x2，…，xn∈[0，8π](n≥10)，记M＝|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|，则M的最大值为________.[解析](1)y＝|x2－1|x－1＝x＋1，x1或x－1，－x－1，－1≤x1，作出其图象如图所示，结合图象可知0k1或1k2.(2)函数f(x)＝sinx(0≤x≤8π)的图象如图所示，根据正弦函数的图象及性质x1，x2，…，xn∈[0，8π](n≥10)，在[0，8π]有4个周期，要使M的最大值，则|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋|f(x3)－f(x4)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|最大.则x1，x2，…，xn都是顶点的横坐标，故Mmax＝4×4＝16.[答案](1)(0，1)∪(1，2)(2)16应用（二）求解不等式问题2[例2]已知f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x0，则不等式f(x)≥x2的解集为()A.[－1，1]B.[－2，2]C.[－2，1]D.[－1，2][解析]分别作出f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x0和y＝x2的图象如图所示.由图可知，f(x)≥x2的解集为[－1，1].[答案]A应用（三）求解平面向量问题[例3]在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA―→·PB―→＋PA―→·PC―→的最小值为()A.1B.2C.－2D.－1[解析]法一：(坐标法)以点D为坐标原点，DA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)，A(0，2).设点P的坐标为(x，y)，则PA―→＝(－x，2－y)，PD―→＝(－x，－y)，故PA―→·PB―→＋PA―→·PC―→＝PA―→·(PB―→＋PC―→)＝2PA―→·PD―→＝2(x2＋y2－2y)，2(x2＋y2－2y)＝2[x2＋(y－1)2]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立.所以PA―→·PB―→＋PA―→·PC―→的最小值为－2.故选C.法二：(几何法)取AD的中点M，则PA―→＝PM―→＋MA―→＝PM―→－12MA―→，PD―→＝PM―→＋MD―→＝PM―→＋12AD―→.所以PA―→·PB―→＋PA―→·PC―→＝PA―→·(PB―→＋PC―→)＝PA―→·2PD―→＝2PA―→·PD―→＝2PM―→－12AD―→·PM―→＋12AD―→＝2PM―→2－14AD―→2＝2PM―→2－14×22＝2PM―→2－2.显然，当P，M重合时，PM―→2取得最小值0，此时PA―→·PB―→＋PA―→·PC―→取得最小值－32.故选C.[答案]C应用（四）求解解析几何问题[例4]已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP―→·OQ―→＝0(O为坐标原点).求实数m的值及该圆的圆心坐标及半径.[解]圆的方程化为x＋122＋(y－3)2＝374－m，圆心C的坐标为－12，3.如图，取PQ的中点M，连接CM，OM，则CM⊥PQ.所以直线CM的方程为2x－y＋4＝0.解方程组2x－y＋4＝0，x＋2y－3＝0，得点M(－1，2)，故|CM|＝52.因为OP―→·OQ―→＝0，所以OP⊥OQ，所以|MQ|＝|MO|＝5.由|MQ|2＋|CM|2＝|QC|2，得5＋54＝374－m，解得m＝3.故半径r＝52.[应用体验]1.函数f(x)＝12x－log2x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3解析：选B令f(x)＝0，则12x－log2x＝0，即12x＝log2x，分别作出y＝12x与y＝log2x的图象如图所示.由图可知两函数图象的交点只有1个，即f(x)的零点个数为1.故选B.42.在平面上，AB1―→⊥AB2―→，|OB1―→|＝|OB2―→|＝1，AP―→＝AB1―→＋AB2―→，若|OP―→|12，则|OA―→|的取值范围是()A.0，52B.52，72C.52，2D.72，2解析：选D根据AB1―→⊥AB2―→，AP―→＝AB1―→＋AB2―→，可知四边形AB1PB2是一个矩形.以A为坐标原点，AB1，AB2所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB1|＝a，|AB2|＝b.点O的坐标为(x，y)，点P(a，b).∵|OB1―→|＝|OB2―→|＝1，∴（x－a）2＋y2＝1，x2＋（y－b）2＝1，变形为（x－a）2＝1－y2，（y－b）2＝1－x2.∵|OP―→|12，∴(x－a)2＋(y－b)214，∴1－x2＋1－y214，∴x2＋y274.①∵(x－a)2＋y2＝1，∴y2≤1.同理，x2≤1.∴x2＋y2≤2.②由①②可知：74x2＋y2≤2.∵|OA―→|＝x2＋y2，∴72|OA―→|≤2.故选D.53.过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F(－c，0)(c0)，作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OE―→＝12(OF―→＋OP―→)，则双曲线的离心率为()A.102B.105C.10D.2解析：选A由题意可知E为FP的中点，且OE⊥FP.记F′为双曲线的右焦点，作出示意图如图，连接F′P，则F′P綊2OE，所以FP⊥F′P，且|F′P|＝a，故由双曲线的定义可得|FP|＝3a.所以(2c)2＝a2＋(3a)2，所以e＝ca＝102.故选A.4.已知a0，b0，则不等式a1x－b的解是()A.－1a，1bB.1a，－1bC.－1b，0∪1a，＋∞D.－∞，－1b∪1a，＋∞解析：选D法一：直接求解法.－b1xa⇔1x＋b0，1x－a0⇔1＋bxx0，1－axx0⇔x（bx＋1）0，x（1－ax）0⇔x0或x－1b，x1a或x0⇔x－1b或x1a.故选D.法二：数形结合法.利用y＝1x的图象，如图所示.故选D.5.函数f(x)＝2＋|x|－x2(－2＜x≤2)的值域为__________.6解析：因为f(x)＝2＋|x|－x2(－2＜x≤2)，所以f(x)＝2－x，－2＜x≤0，2，0＜x≤2.函数f(x)的图象如图所示，由图象得，函数f(x)的值域为[2，4).答案：[2，4)