2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.2.1 简单的三角恒等变换学案 新人

1第1课时简单的三角恒等变换1．了解半角公式及推导过程．2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．1．半角公式降幂公式半角公式sin2α2＝1－cosα2sinα2＝±1－cosα2cos2α2＝1＋cosα2cosα2＝±1＋cosα2tan2α2＝1－cosα1＋cosαtanα2＝±1－cosα1＋cosα2.辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)．(其中tanθ＝ba)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin15°＝±1－cos30°2.()(2)cos15°＝1－cos30°2.()(3)tanα2＝1＋cosαsinα.()(4)倍、半是相对而言的，α可以看成2α的半角，2α可以看成4α的半角．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√题型一求值问题2【典例1】已知sinα＝－45，πα3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．[思路导引]由α是α2的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意α2的范围．[解]∵πα3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2α23π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.解决给值求值问题的思路方法(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[针对训练]1．已知sinα2－cosα2＝－15，450°α540°，求tanα2的值．[解]由题意得sinα2－cosα22＝15，即1－sinα＝15，得sinα＝45.∵450°α540°，∴cosα＝－35，∴tanα2＝sinα2cosα2＝sin2α2sinα2cosα2＝1－cosαsinα3＝1－－3545＝2.题型二三角函数式的化简【典例2】化简：1＋sinα＋cosαsinα2－cosα22＋2cosα(180°α360°)．[思路导引]利用二倍角公式将α角转化为α2角，注意被开方式子的正负．[解]原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα22·2cos2α2＝2cosα2cosα2＋sinα2sinα2－cosα22cosα2＝cosα2－cosαcosα2.又∵180°α360°，∴90°α2180°，∴cosα20，∴原式＝cosα2·－cosα－cosα2＝cosα.[变式]若本例中式子变为：1－sinα－cosαsinα2＋cosα22－2cosα(－πα0)，求化简后的式子．[解]原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα22·2sin2α24＝2sinα2sinα2－cosα2sinα2＋cosα22sinα2＝sinα2sin2α2－cos2α2sinα2＝－sinα2cosαsinα2.因为－πα0，所以－π2α20，所以sinα20，所以原式＝－sinα2cosα－sinα2＝cosα.化简问题中的“3变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[针对训练]2．已知πα3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.[解]原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2，5∵πα3π2，∴π2α23π4.∴cosα20，sinα20.∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.题型三三角恒等式的证明【典例3】求证：1＋sin4θ－cos4θ2tanθ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan2θ.[思路导引]注意到2tanθ1－tan2θ＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于tan2θ.[证明]要证原式，可以证明1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tanθ1－tan2θ.∵左边＝sin4θ＋1－cos4θsin4θ＋1＋cos4θ＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ2sin2θcos2θ＋2cos22θ＝2sin2θcos2θ＋sin2θ2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ，右边＝2tanθ1－tan2θ＝tan2θ，∴左边＝右边，∴原式得证．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换6法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[针对训练]3．求证：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.[证明]因为sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα得sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.课堂归纳小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．对半角公式的三点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sinα2，cosα2，tanα2.(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2求解．开方时需要注意角所在象限.71．已知cosθ＝－35，且180°θ270°，则tanθ2的值为()A．2B．－2C.12D．－12[解析]∵cosθ＝－35，且180°θ270°∴sinθ＝－1－cos2θ＝－45∴tanθ2＝1－cosθsinθ＝1＋35－45＝－2.[答案]B2．下列各式中，值为12的是()A．sin15°cos15°B．cos2π6－sin2π6C.tan30°1－tan230°D.1＋cos60°2[解析]选项A中，sin15°cos15°＝12sin30°＝14；选项B中，cos2π6－sin2π6＝cosπ3＝12；选项C中，原式＝12×2tan30°1－tan230°＝12tan60°＝32；选项D中，原式＝cos30°＝32.故选B.[答案]B3．若α∈π2，3π2，则1－sinα化简的结果为()A．sinα2＋cosα2B．sinα2－cosα2C．－sinα2＋cosα2D．－sinα2－cosα2[解析]1－sinα＝sinα2－cosα22＝sinα2－cosα2，∵α∈π2，3π2，∴α2∈π4，34π，∴sinα2cosα2∴原式＝sinα2－cosα2.故选B.8[答案]B4．已知tanθ2＝3，则cosθ等于()A.45B．－45C.415D．－35[解析]cosθ＝cos2θ2－sin2θ2＝cos2θ2－sin2θ2cos2θ2＋sin2θ2＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝1－321＋32＝－45.故选B.[答案]B5．化简：sin4x1＋cos4x·cos2x1＋cos2x·cosx1＋cosx.[解]原式＝2sin2xcos2x2cos22x·cos2x1＋cos2x·cosx1＋cosx＝sin2x1＋cos2x·cosx1＋cosx＝2sinxcosx2cos2x·cosx1＋cosx＝sinx1＋cosx＝tanx2.课后作业(五十二)复习巩固一、选择题1．设5πθ6π，cosθ2＝a，那么sinθ4等于()A．－1＋a2B．－1－a2C．－1＋a2D．－1－a2[解析]∵5π4θ432π，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2，故选D.[答案]D2．若α∈7π4，2π，则1＋cos2α2－1－cos2α2等于()A．cosα－sinαB．cosα＋sinα9C．－cosα＋sinαD．－cosα－sinα[解析]原式＝1＋2cos2α－12－1－1－2sin2α2＝|cosα|－|sinα|∵α∈7π4，2π，∴cosα0，sinα0，∴原式＝cosα＋sinα.[答案]B3．sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α＝()A．－79B．－13C.13D.79[解析]cos2π3＋2α＝2cos2π3＋α－1.∵π6－α＋π3＋α＝π2，∴cosπ3＋α＝sinπ6－α＝13.∴cos2π3＋2α＝2×132－1＝－79.故选A.[答案]A4．化简sin4α4sin2π4＋αtanπ4－α＝()A．sin2αB．cos2αC．sinαD．cosα[解析]∵4sin2π4＋αtanπ4－α＝4cos2π4－αtanπ4－α＝4cosπ4－αsinπ4－α＝2sinπ2－2α＝2cos2α，∴原式＝sin4α2cos2α＝2sin2αcos2α2cos2α＝sin2α.[答案]A105．若cosα＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2的值为()A．－12B.12C．2D．－2[解析]由cosα＝－45，α是第三象限角，可得sinα＝－1－cos2α＝－35.所以1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12.[答案]A二、填空题6．若tanx＝2，则2cos2x2－sinx－1sinx＋cosx＝________.[解析]原式＝cosx－sinxcosx＋sinx＝1－tanx1＋tanx＝1－21＋2＝1－22－1＝22－3.[答案]22－37.3tan12°－3sin12°4cos212°－2＝__________.[解析]原式＝3sin12°－3cos12°cos12°sin12°·2cos24°＝3sin12°－3cos12°sin24°cos24°＝43sin12°cos60°－cos12°sin60°2sin24°cos24°＝43sin－48°sin48°＝－43.[答案]－43118．若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝________.[解析]cosα－3π10sinα－π5＝sinα－3π10＋π2sinα