（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题一 解题常用8术系统归纳 第4讲 声东击西

1第4讲声东击西，换位推理方法概述对有些问题在直接求解时会感到困难或根本难以从条件入手，这时可避开正面强攻，从结论的对立面入手，或考查与其相关的另一问题，或反例中也可找到解决问题的途径，有时甚至还能获得最佳的解法.这就是“声东击西，换位推理”的战术应用题型既有选择、填空题，也有解答题.主要体现为补集法、相关点法及反证法等方法（一）补集法[例1]若函数f(x)＝ln（kx）2－ln(x＋1)不存在零点，则实数k的取值范围是________.[解析]由题意可知kx＞0，x＋1＞0，解得x＞－1且x≠0，当ln（kx）2＝ln(x＋1)时，可得ln(kx)＝2ln(x＋1)＝ln(x＋1)2，可得kx＝(x＋1)2⇒k＝（x＋1）2x＝x＋1x＋2(x＞－1，x≠0)，由于x＋1x＜－2或x＋1x≥2⇒x＋1x＋2＜0或x＋1x＋2≥4，要使函数f(x)＝ln（kx）2－ln(x＋1)不存在零点，k的取值范围应取函数g(x)＝x＋1x＋2的值域的补集，即{k|0≤k＜4}，当k＝0时，函数无意义，故k的取值范围为(0，4).[答案](0，4)方法（二）相关点法[例2]已知P(4，0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程.[解]连接AB，PQ，OA，设AB与PQ交于点M，如图所示.因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.由垂径定理可知OM⊥AB，设M(xM，yM)，在Rt△AMO中，有|AM|2＝|OA|2－|OM|2＝36－(x2M＋y2M).①又在Rt△APB中，有|AM|＝|PM|＝（xM－4）2＋y2M.②由①②得x2M＋y2M－4xM－10＝0，2故点M的轨迹是圆.因为点M是PQ的中点，设Q(x，y)，则xM＝x＋42，yM＝y2，代入点M的轨迹方程中得x＋422＋y22－4×x＋42－10＝0，整理得x2＋y2＝56，即为所求点Q的轨迹方程.[应用体验]1.某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况，从高一，高二，高三三个年级中分别抽取了1，2，3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级来自不同年级的概率为________.解析：记高一年级中抽取的1个班级为a，高二年级中抽取的2个班级为b1，b2，高三年级中抽取的3个班级为c1，c2，c3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15种.设“抽取的两个班级来自不同年级”为事件A，则事件A为抽取的两个班级来自同一年级.两个班级来自同一年级的结果为(b1，b2)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共4种.所以P(A)＝415，故P(A)＝1－P(A)＝1－415＝1115.所以两个班级来自不同年级的概率为1115.答案：11152.已知函数f(x)＝ax2－x＋lnx在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为________.解析：f′(x)＝2ax－1＋1x.(1)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，则f′(x)≥0在(1，2)上恒成立，所以2ax－1＋1x≥0，得a≥121x－1x2.①3令t＝1x，因为x∈(1，2)，所以t＝1x∈12，1.设h(t)＝12(t－t2)＝－12t－122＋18，t∈12，1，显然函数y＝h(t)在区间12，1上单调递减，所以h(1)h(t)h12，即0h(t)18.由①可知，a≥18.(2)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递减，则f′(x)≤0在(1，2)上恒成立，所以2ax－1＋1x≤0，得a≤121x－1x2.②结合(1)可知，a≤0.综上，若函数f(x)在区间(1，2)上单调，则实数a的取值范围为(－∞，0]∪18，＋∞.所以若函数f(x)在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为0，18.答案：0，18