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1复习课(二)一元二次函数、方程和不等式考点一基本不等式利用基本不等式a+b≥2ab(a0,b0)求最值,要抓住“一正,二定,三相等”的条件,三者缺一不可,和为定值积有最大值,积为定值和有最小值.【典例1】(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.6(2)若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54[解析](1)因为x+3y=5xy,1y+3x=5,所以3x+4y=15(3x+4y)·1y+3x=153xy+12yx+135≥15×2×36+135=5.当且仅当3xy=12yx,即x=1,y=12时等号成立,所以3x+4y的最小值是5.(2)由4x2+9y2+3xy=30,得2·2x·3y+3xy≤4x2+9y2+3xy=30,即15xy≤30,xy≤2,此时当且仅当2x=3y4x2+9y2+3xy=30,即x=3,y=233时取得最大值.故答案选C.[答案](1)C(2)C条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.[针对训练]1.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则2x+y的最小值是________.2[解析]解法一:∵x0,y0,∴xy=12·(2x)·y≤12·2x+y22,∴2x+y+6=(2x+y)+6≤18(2x+y)2,∴(2x+y)2-8(2x+y)-48≥0,令2x+y=t,t0,则t2-8t-48≥0,∴(t-12)(t+4)≥0,∴t≥12,即2x+y≥12.解法二:由x0,y0,2x+y+6=xy,得xy≥22xy+6(当且仅当2x=y时,取“=”),即(xy)2-22xy-6≥0,∴(xy-32)·(xy+2)≥0,又∵xy0,∴xy≥32,即xy≥18,∴xy的最小值为18,∵2x+y=xy-6,∴2x+y的最小值为12.[答案]122.已知x1,求函数y=x2-2x+22x-2的最小值.[解]∵x1,∴y=x2-2x+22x-2=x-12+12x-1=12x-1+1x-1≥12×2x-1·1x-1=1,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,取“=”,∴当x=2时,函数y=x2-2x+22x-2有最小值为1.考点二一元二次不等式的解法与三个“二次”之间的关系一元二次方程的根就是二次函数的零点,求二次不等式的解一般结合二次函数的图象写出不等式的解.【典例2】(1)已知不等式ax2+bx+20的解集为{x|-1x2},则不等式2x2+bx+a0的解集为()A.x|-1x12B.x|x-1或x12C.{x|-2x1}D.{x|x-2或x1}3(2)若a为实数,解关于x的不等式ax2+(a-2)x-20.[解析](1)根据题意x=-1和x=2是方程ax2+bx+2=0的两个根,于是a-b+2=04a+2b+2=0,解得a=-1b=1,则2x2+x-10的解集为x|-1x12.(2)当a=0时,不等式化为-2x-20,解得{x|x-1};当a≠0时,不等式化为(x+1)(ax-2)0,若a0,则不等式化为(x+1)x-2a0,且-12a,∴不等式的解集为x|-1x2a;若a0,则不等式化为(x+1)x-2a0,当2a=-1,即a=-2时,不等式化为(x+1)20,解得{x|x≠-1};当a-2,即2a-1时,不等式的解集为x|x2a或x-1;当-2a0,即2a-1时,不等式的解集为x|x2a或x-1.综上,a=0时,不等式的解集为{x|x-1},a0时,不等式的解集为x|-1x2a,-2a0时,不等式的解集为x|x2a或x-1,a=-2时,不等式的解集为{x|x≠-1},a-2时,不等式的解集为x|x2a或x-1.[答案](1)A(2)见解析解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.4[针对训练]3.若不等式(1-a)x2-4x+60的解集是{x|-3x1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a0;(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R.[解](1)由题意,知1-a0,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,∴1-a0,41-a=-261-a=-3,解得a=3.∴不等式2x2+(2-a)x-a0即为2x2-x-30,解得x-1或x32.∴所求不等式的解集为x|x-1或x32.(2)ax2+bx+3≥0,即为3x2+bx+3≥0,若此不等式解集为R,则b2-4×3×3≤0,∴-6≤b≤6.
本文标题:2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式复习课学案 新人教A版必修第
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