2019-2020学年高中数学 第二章 数列检测试题 新人教A版必修5

-1-第二章数列检测试题(时间:120分钟满分:150分)[选题明细表]知识点、方法题号通项公式与递推公式1,9,13,16等差数列及其性质3,6,7,10,12,17等比数列及其性质2,4,5,8,11,14数列求和15,19,22综合问题18,20,21一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.数列,-,,-,…的一个通项公式为(D)(A)an=(-1)n(B)an=(-1)n(C)an=(-1)n+1(D)an=(-1)n+1解析:由已知中数列,-,,-,…可得数列各项的分母为2n,分子为2n+1,又因为数列所有的奇数项为正,偶数项为负,故可用(-1)n+1来控制各项的符号,故数列的一个通项公式为an=(-1)n+1,故选D.2.已知{an}是等比数列,a1=1,a4=2,则a3等于(B)(A)±2(B)2(C)-2(D)4解析:由等比数列的通项公式得2=1×q3解得q=,所以a3=1×q2=2.故选B.-2-3.已知等差数列{an}中,a5+a9=2,则S13等于(C)(A)11(B)12(C)13(D)不确定解析:S13===13.故选C.4.在等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为(C)(A)1(B)-(C)1或-(D)-1或-解析:q=1时,a1=a2=a3=6,所以S3=18,符合条件.当q≠1时,由S3=18=6++,解得q=-.故选C.5.如果将2,5,10依次加上同一个常数后组成一个等比数列,那么该等比数列的公比是(D)(A)(B)(C)(D)解析:依题意得(5+t)2=(2+t)(10+t),解得t=2.5,所以公比q==.故选D.6.已知等差数列{an}中,|a5|=|a9|,公差d0,则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是(C)(A)4和5(B)5和6(C)6和7(D)7和8解析:依题意a50,a90,-3-且a5+a9=0⇒2a1+12d=0⇒a1+6d=0,即a7=0,故前6项与前7项的和最小,故选C.7.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a1=2a8-3a4,则等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得,a1=2a1+14d-3a1-9d,所以a1=d,又====,故选A.8.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(D)(A)f(B)f(C)f(D)f解析:由题知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,则第八个单音的频率为()7f=f.故选D.9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an(1-nan+1),则数列{an}的通项公式为(D)(A)an=(B)an=(C)an=(D)an=-4-解析:原数列递推公式可化为-=n,令bn=,则bn+1-bn=n,因此bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)+b1=(n-1)+(n-2)+…+2+1+1=.从而an=.故选D.10.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.因为=,不妨设S3=1,S6=3,则S6-S3=2,所以S9-S6=3,故S9=6,所以S12-S9=4,故S12=10.所以=.故选A.11.已知等比数列{an}满足an0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于(C)(A)n(2n-1)(B)(n+1)2(C)n2(D)(n-1)2解析:因为a5·a2n-5==22n,且an0,所以an=2n,因为a2n-1=22n-1,-5-所以log2a2n-1=2n-1,所以log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)==n2.故选C.12.等差数列{an}的前16项和为640,前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18,则公差d,的值分别是(D)(A)8,(B)9,(C)9,(D)8,解析:设S奇=a1+a3+…+a15,S偶=a2+a4+…+a16,则有S偶-S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a16-a15)=8d,==.由解得S奇=288,S偶=352.因此d===8,==.故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在数列{an}中,已知a1=1,an+1-an=2n(n∈N*),则a5等于.解析:a2=a1+2=3,a3=a2+4=7,a4=a3+8=15,a5=a4+16=31.答案:3114.设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q等-6-于.解析:由S2=3a2+2,S4=3a4+2相减可得a3+a4=3a4-3a2,同除以a2可得2q2-q-3=0,解得q=或q=-1.因为q0,所以q=.答案:15.已知数列{bn}的通项公式是bn=n,则++…+=.解析:++…+=++…+=×(-+-+…+-)=.答案:16.已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,则数列{an}的通项公式是.解析:令Sn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an,则Sn=9-6n,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,2n-1·an=Sn-Sn-1=-6,所以an=-.所以通项公式an=答案:an=三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)-7-记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.(2)由(1)得Sn=·n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.18.(本小题满分12分)已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3=-6,a6=0,所以解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,q=3.所以数列{bn}的前n项和公式为Sn==4(1-3n).19.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an,数列{bn}满足b1=3,b2=6,且{bn-an}为等差数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Tn.-8-解:(1)由题意知数列{an}是首项a1=1,公比q=2的等比数列,所以an=2n-1.因为b1-a1=2,b2-a2=4,所以数列{bn-an}的公差d=2,所以bn-an=(b1-a1)+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,所以bn=2n+2n-1.(2)Tn=b1+b2+b3+…+bn=(2+4+6+…+2n)+(1+2+4+…+2n-1)=+=n(n+1)+2n-1.20.(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),所以b3=5,公比q=2,故bn=5·2n-3.(2)证明:由(1)知b1=,公比q=2,所以Sn==5·2n-2-,-9-则Sn+=5·2n-2,因此S1+=,==2(n≥2).所以数列{Sn+}是以为首项,公比为2的等比数列.21.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1=,an+1an=2an+1-1,令bn=an-1.(1)求证:数列{}为等差数列;(2)设cn=.求证:数列{cn}的前n项和Tnn+.证明:(1)由题意知,==-2,an=2-,则-=-=-=-1,所以数列{}是首项为-2,公差为-1的等差数列.(2)由(1)可知,=-2+(n-1)×(-1)=-n-1,所以bn=-,代入an=bn+1=1-=,-10-所以===1+=1+(-),所以Tn=c1+c2+…+cn=++…+=[1+(1-)]+[1+(-)]+…+[1+(-)]=n+(1+--)n+.22.(本小题满分12分)已知等比数列{an}的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{bn}的通项公式.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8(q+)=20,解得q=2或q=.因为q1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn.-11-由cn=解得cn=4n-1.由(1)可得an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)×()n-1,故bn-bn-1=(4n-5)×()n-2,n≥2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)×()n-2+(4n-9)×()n-3+…+7×+3.设Tn=3+7×+11×()2+…+(4n-5)×()n-2,n≥2,则Tn=3×+7×()2+…+(4n-9)×()n-2+(4n-5)×()n-1,所以Tn=3+4×+4×()2+…+4×()n-2-(4n-5)×()n-1,因此Tn=14-(4n+3)·()n-2,n≥2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·()n-2.