（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 7 第7讲 立体几何中的向量方

1第7讲立体几何中的向量方法1．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法(a，b分别为异面直线l1，l2的方向向量)a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围[0，π]0，π2求法cosβ＝a·b|a||b|cosθ＝|cosβ|＝|a·b||a||b|(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝|e·n||e||n|．(3)二面角大小的求法a．如图①，AB，CD是二面角αlβ两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．b．如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．2．点到平面的距离的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.2[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√[教材衍化]1．(选修2­1P104练习T2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．解析：cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11·2＝22，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案：45°或135°2．(选修2­1P112A组T6改编)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________．解析：以D点为原点，以DA，DC，DD1的正方向为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E0，12，1，则AC→＝(－1，1，0)，DE→＝0，12，1，设异面直线DE与AC所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AC→，DE→〉|＝1010.答案：10103．(选修2­1P117A组T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．解析：以C为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标A(2，0，0)，C1(0，0，322)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C232，32，22.所以AC1→＝(－2，0，22)，AC2→＝－12，32，22，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cosθ＝|AC1→·AC2→||AC1→||AC2→|＝1＋0＋823×3＝32.又θ∈0，π2，所以θ＝π6.答案：π6[易错纠偏]直线和平面所成的角的取值范围出错.已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为________．解析：设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，所以θ＝30°.答案：30°第1课时空间角异面直线所成的角如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，点M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．【解】如图，以A为原点，分别以AB→，AC→，AP→方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系A­xyz.依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)．(1)证明：DE→＝(0，2，0)，DB→＝(2，0，－2)．4设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则n·DE→＝0，n·DB→＝0，即2y＝0，2x－2z＝0.不妨设z＝1，可得n＝(1，0，1)．又MN→＝(1，2，－1)，可得MN→·n＝0.因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.(2)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，进而可得NH→＝(－1，－2，h)，BE→＝(－2，2，2)．由已知，得|cos〈NH→，BE→〉|＝|NH→·BE→||NH→||BE→|＝|2h－2|h2＋5×23＝721，整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝85或h＝12.所以，线段AH的长为85或12.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．[提醒]注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．1．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，点E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.1010B.3010C.21510D.31010解析：选B.以D为原点，以DA，DC，DD1的正方向为x轴，y轴，z5轴，建立空间直角坐标系D­xyz，如图．则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2).BC1→＝(－1，0，2)，AE→＝(－1，2，1)，cos〈BC1→，AE→〉＝BC1→·AE→|BC1→||AE→|.