2021版高考数学一轮复习 第十章 概率 第3讲 几何概型教案 文 新人教A版

1第3讲几何概型一、知识梳理1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.二、习题改编1．(必修3P142A组T3改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30s，黄灯的时间为5s，绿灯的时间为40s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为．答案：252．(必修3P142A组T2改编)如图是某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖，则顾客中奖的概率是．答案：132一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×二、易错纠偏常见误区(1)易混淆几何概型与古典概型；(2)几何概型的测度选择不正确．1．如图，在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(nm)，则L围成的区域面积(阴影部分)为()A.2nmB.4nmC.n2mD.n4m解析：选B.S阴影S正方形＝落在L围成的区域内的豆子数n落在正方形中的豆子数m，所以S阴影＝nm×22＝4nm.2．记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59.3答案：59与长度有关的几何概型(典例迁移)(2020·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x，使sinπ2x≥32的概率为()A.13B.12C.23D.34【解析】当x∈[0，2]时，0≤π2x≤π，所以sinπ2x≥32⇔π3≤π2x≤2π3⇔23≤x≤43.故由几何概型的知识可知所求概率P＝43－232＝13.故选A.【答案】A【迁移探究】(变条件)若将本例中的不等式变为sinx≤32，如何求概率？解：结合正弦曲线，在[0，π]上使sinx≤32的x∈0，π3∪2π3，π，故所求概率为P＝π3－0＋π－2π3π－0＝23.与长度有关的几何概型(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．1．(2020·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30，7：00，7：30，准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为．4解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P＝2040＝12.答案：122．(2020·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为．解析：因为m∈(0，8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以0m8，|3＋4－1|2m，解得0m32，所以所求概率P＝328.答案：328与面积有关的几何概型(多维探究)角度一与平面图形面积有关的几何概型(1)(2020·昆明市诊断测试)如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH(图中阴影部分)，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH内的概率是()A.14B.16C.18D.116(2)(2020·江西七校第一次联考)图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()5A.12B.13C.4π－1D.2－4π【解析】(1)设第1个正方形ABCD的边长为2，则第2个正方形的边长为2，第3个正方形的边长为1，第4个正方形EFGH的边长为22，所以所求概率P＝S正方形EFGHS正方形ABCD＝22222