2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆 第1课时 椭圆及其性质教案 文 新人

1第5讲椭圆一、知识梳理1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a2a＞|F1F2|[注意]若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，则动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b性质焦距|F1F2|＝2c2离心率e＝ca，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2常用结论1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.2．椭圆的常用性质(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为2b2a.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－b2a2.二、习题改编1．(选修1­1P40例4改编)椭圆16x2＋25y2＝400的长轴的长，离心率．答案：10352．(选修1­1P41练习T3改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是．答案：x24＋y23＝13．(选修1­1P36练习T3改编)椭圆C：x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为，△AF1F2的周长为．答案：2016一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()3(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区(1)忽视椭圆定义中的限制条件；(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是．解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F1F22．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为．答案：x225＋y29＝1或y225＋x29＝1第1课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用(典例迁移)(1)(2020·黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：x24＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是()A．2B．23C．4D．43(2)(2020·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝．【解析】(1)设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，因为OA＝OB，OF＝OF1，所以四边形AFBF1是平行四边形．所以|BF|＝|AF1|，4所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF1|＝2a＝4，故选C.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】(1)C(2)3【迁移探究】(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为x225＋y29＝1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A．2B．3C．5D．7解析：选D.因为a2＝25，所以2a＝10，所以由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.2．(2020·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2＝．解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，则S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×4sin60°＝3.答案：3椭圆的标准方程(师生共研)5(1)(一题多解)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.x220＋y24＝1B.x225＋y24＝1C.y220＋x24＝1D．x24＋y225＝1(2)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为．【解析】(1)法一(定义法)：椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a＝25.由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k9)，将点(3，－5)的坐标代入，可得（－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由题意得5a2＋3b2＝1a2－b2＝16，解得a2＝20b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.(2)直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为y25＋x24＝1.【答案】(1)C(2)x25＋y2＝1或x24＋y25＝1(1)用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：6①b2＝a2－c2；②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤[提醒]当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2m＋y2n＝1(m0，n0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A0，B0，且A≠B)．1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.x29＋y2＝1B.y29＋x25＝1C.y29＋x2＝1D．x29＋y25＝1解析：选D.由题意有62＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为x29＋y25＝1.故选D.2．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点为(2，0)，离心率为22，则此椭圆的方程为．解析：椭圆的右焦点为(2，0)，所以m2－n2＝4，e＝22＝2m，所以m＝22，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为x28＋y24＝1.答案：x28＋y24＝13．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C的方程是．7解析：设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意知a2＝b2＋c2，a∶b＝2∶3，c＝2，解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.答案：x216＋y212＝1椭圆的几何性质(多维探究)角度一椭圆的长轴、短轴、焦距(2020·泉州质检)已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C．6D．5【解析】因为椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，所以m－20，10－m0，m－210－m，解得6m10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.【答案】A角度二求椭圆离心率的值(范围)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C.3－12D．3－1(2)在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈π6，π4，则椭圆C的离心率的取值范围为()8A.0，63B.0，32C.63，32D．63，223【解析】(1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝3c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即3c＋c＝2a，所以(3＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.故选D.(2)因为OPMN是平行四边形，所以MN∥OP且MN＝OP，故yN＝a2，代入椭圆方程可得xN＝3b2，所以kON＝3a3b＝tanα.又α∈π6，π4，所以333a3b1，所以a3b，a23(a2－c2)，解得0ca63，故选A.【答案】(1)D(2)A求椭圆离心率或其取值范围的方法(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－ba2直接求．(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．角度三与椭圆性质有关的最值问题已知P在椭圆x24＋y2＝1上，A(0，4)，则|PA|的最大值为()A.2183B.763C．5D．25【解析】设P(x0，y0)，则由题意得x2＝4(1－y2)，9所以|PA|2＝x20＋(y0－4)2＝4(1－y20)＋y20－8y0＋16＝－3y20－8y0＋20＝－3y0＋432＋763，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5.故选C.【答案】C求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a