（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 4 第4讲 随机事件的概率教学

1第4讲随机事件的概率1．事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，A∩B＝∅2事件那么称事件A与事件B互为对立事件且A∪B＝Ω4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必然事件的概率：P(A)＝1．(3)不可能事件的概率：P(A)＝0．(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．()(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.()(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×[教材衍化]1．(必修3P121练习T4改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶解析：选D.“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．2．(教材习题改编)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)________1(填“＞”“＜”“≥”“≤”)．答案：≤[易错纠偏](1)确定互斥事件、对立事件出错；(2)基本事件计数错误．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为3________．解析：由题意得，甲不输的概率为12＋13＝56.答案：56事件类型的判断及随机试验结果(1)给出关系满足AB的非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中不正确的是____________(把所有不正确命题的序号都填上)．(2)在下列随机试验中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？①观察从北京站开往合肥站的3趟列车中正点到达的列车数；②某人射击两次，观察中靶的次数．【解】(1)因为AB，所以A中的元素都在B中，但是B中有些元素不在集合A中，所以①③④正确．②中，若x∉A，则有x∈B，x∉B两种可能情况，因此②若任取x∉A，则x∈B是随机事件．故填②.(2)①每列列车运行一趟，就是1次试验，共有3次试验．试验的结果有“只有1列列车正点到达”“只有2列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”，共4种．②射击一次，就是1次试验，共有2次试验．试验的结果有“两次中靶”“一次中靶”“两次都未中靶”，共3种．(1)判断事件类型的思路判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．(2)随机试验结果的判定在写试验结果时，要按照一定的顺序采用列举法写出，注意不能重复也不能遗漏．准确写出满足某种特殊条件的试验结果是正确求解概率的基础．41．指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：(1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称；(2)y＝kx＋6是定义在R上的增函数；(3)若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号．解：必然事件有(1)；随机事件有(2)(3)．对于(3)，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab0；另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.2．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．(1)写出这个试验的所有可能的结果；(2)求这个试验共有多少种不同的结果；(3)写出事件“出现的点数之和大于8”；(4)写出事件“出现的点数相同”．解：(1)这个试验的所有可能的结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)由(1)知这个试验的结果共有36种．(3)事件“出现的点数之和大于8”为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(4)事件“出现的点数相同”为(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．随机事件的频率与概率某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货5量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900，300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.1．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.715B.25C.1115D.1315解析：选C.由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比6较满意”或“满意”的概率为33004500＝1115.2．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率mn(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.89.互斥事件、对立事件的概率(高频考点)随机事件的概率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查，以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目．主要命题角度有：(1)随机事件间关系的判定；(2)互斥事件的概率；(3)对立事件的概率．角度一随机事件间关系的判定(2020·杭州第二中学模拟)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【解析】A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．【答案】D角度二互斥事件的概率(2020·绍兴模拟)抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率是________．【解析】由题意知抛掷一颗骰子出现奇数点和出现2点是互斥事件，因为P(A)＝12，7P(B)＝16，所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或2点的概率P＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23.【答案】23角度三对立事件的概率(2020·浙江省名校协作体高三联考)袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到的不是“红球或绿球”的概率．【解】(1)从12个球中任取一个，记事件A＝“得到红球”，事件B＝“得到黑球”，事件C＝“得到黄球”，事件D＝“得到绿球”，则事件A、B、C、D两两互斥，由题意有：P（A）＝13，P（B＋C）＝512，P（C＋D）＝512，P（A＋B＋C＋D）＝1，即P（A）＝13，P（B）＋P（C）＝512，P（C）＋P（D）＝512，P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1，解得P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，14.(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件“A＋D”，由(1)及互斥事件概率加法公式得：P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝13＋14＝712，8故得到的不是“红球或绿球”的概率P＝1－P(A＋D)＝1－712＝512.(1)事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件