2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆 第2课时 直线与椭圆教案 文 新人教

1第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系(师生共研)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有且只有一个公共点；(2)没有公共点．【解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(2)当Δ0，即m－32或m32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x27＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0，1)B．(0，7)C．[1，7)D．(1，7]解析：选C.直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆x27＋y2m＝1上或其内部，所以有1m≤1，得m≥1.又椭圆x27＋y2m＝1的焦点在x轴上，所以m7.综上，1≤m7.2弦长问题(师生共研)已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且|CD||AB|＝837，求出直线l的方程．【解】设直线l的方程为y＝－x＋m，由题意知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝|－m|21，得|m|2.|AB|＝21－d2＝21－m22＝2×2－m2，联立得x24＋y23＝1，y＝－x＋m，消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)0，解得m27，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝8m7，x1x2＝4m2－127，|CD|＝2|x1－x2|＝2×8m72－4×4m2－127＝2×336－48m249＝467×7－m2＝837|AB|＝837×2×2－m2，解得m2＝137，得m＝±33.即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±33.求直线与椭圆弦长的方法(1)若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|；3(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b2a，最长的为2a.已知点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上，则椭圆C的方程为；若直线y＝12x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝．解析：由题意可知，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点在x轴上，由点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆上，则a＝2，b＝1，所以椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x24＋y2＝1，y＝12x，消去y，整理得2x2＝4，则x1＝2，x2＝－2，y1＝22，y2＝－22，则|MN|＝（2＋2）2＋22＋222＝10.答案：x24＋y2＝110中点弦问题(师生共研)(一题多解)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得x21a2＋y21b2＝1①，x22a2＋y22b2＝1②，①－②得x21－x22a2＋y21－y22b2＝0，所以x1＋x2a2＋y1－y2x1－x2·y1＋y2b2＝0.因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，kAB＝－1－01－3＝12，所以2a2＋12×－2b2＝0，即a2＝2b2.4又c＝3＝a2－b2，所以a2＝18，b2＝9.所以椭圆E的方程为x218＋y29＝1.优解：由题意可得a2－b2＝9，0－（－1）3－1×（－1）＝－b2a2，解得a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为x218＋y29＝1.【答案】D中点弦的重要结论AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．(1)斜率：k＝－b2x0a2y0；(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－b2a2.已知椭圆：y29＋x2＝1，过点P12，12的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆y29＋x2＝1上，所以y219＋x21＝1，y229＋x22＝1，两式相减得y21－y229＋x21－x22＝0，即（y1－y2）（y1＋y2）9＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P12，12平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得y1－y29＋x1－x2＝0，即y1－y2x1－x2＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－12＝－9x－12，即9x＋y－5＝0.椭圆与向量的综合问题(师生共研)(1)已知点F1，F2是椭圆C：x24＋y2＝1的焦点，点M在椭圆C上且满足|MF1→＋MF2→|＝523，O为坐标原点，则△MF1F2的面积为()A.33B.32C．2D．1(2)(2020·石家庄质量检测(二))倾斜角为π4的直线经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF→＝2FB→，则该椭圆的离心率为()A.32B.23C.22D．33【解析】(1)|MF1→＋MF2→|＝2|MO→|＝23，所以|MO→|＝3＝c，所以MF1⊥MF2，|MF1|2＋|MF2|2＝4c2＝12，|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，解得|MF1||MF2|＝2，所以三角形的面积S＝12×|MF1|×|MF2|＝1.(2)由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得x2a2＋y2b2＝1y＝x－c，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2b2ca2＋b2y1y2＝－b4a2＋b2，又AF→＝2FB→，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得－y2＝－2b2ca2＋b2－2y22＝－b4a2＋b2，所以12＝4c2a2＋b2，所以e＝23，故选B.【答案】(1)D(2)B解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．已知F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端6点，BF1→·BF2→≥14F1F2→2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.0，12B.0，22C.0，33D．12，1解析：选C.根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，因为BF1→·BF2→≥14F1F2→2，所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2≥3c2，所以0ca≤33.核心素养系列18数学运算——“设而不求”求解直线与椭圆的问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学．已知椭圆x22＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为．【解析】设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，则有x212＋y21＝1，x222＋y22＝1.两式作差，得（x2－x1）（x2＋x1）2＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y2－y1x2－x1＝kAB，代入后求得kAB＝－x02y0.即2＝－x02y0，所以x0＋4y0＝0.故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入x22＋y2＝1得x22＋－x42＝1，解得x＝±43，又中点在椭圆内，所以－43x43.【答案】x＋4y＝0－43x43“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．7已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：x24＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为12，则k＝．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝k（x－1），x24＋y2＝1，得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因为直线l过椭圆内的定点(1，0)，所以Δ0，x1＋x2＝8k24k2＋1，所以x1＋x22＝4k24k2＋1＝12，即k2＝14，所以k＝±12.答案：±12[基础题组练]1．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0，3)∪(3，＋∞)解析：选B.由y＝x＋2，x2m＋y23＝1，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ0且m≠3及m0得m1且m≠3.2．设直线y＝kx与椭圆x24＋y23＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于()A．±32B．±23C．±12D．±2解析：选A.由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－32，y2＝32，解得8k＝32；同理可得当k0时k＝－32.3．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.43B.53C.54D．103解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立x25＋y24＝1，y＝2x－2，解得交点A(0，－2)，B53，43，所以S△OAB＝12·|OF|·|yA－yB|＝12×1×－2－43＝53，故选B.4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C的方程为()A.4x225＋y25＝1B.x25＋y24＝1C.x29＋y25＝1D．x225＋y220＝1解析：选B.将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为55，所以ca＝a2－b2a＝55，则b2a2＝45，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为x25＋y24＝1.5．直线l过椭圆x22＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ