2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的

1第2课时简单的三角恒等变换三角函数式的化简(师生共研)化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝；(2)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2＝．【解析】(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．(2)原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.【答案】(1)sin(α＋γ)(2)2sinα(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函2数式时，一般需要升次．1．(2020·长沙模拟)化简：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝．解析：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα12（1＋cosα）＝4sinα（1＋cosα）1＋cosα＝4sinα.答案：4sinα2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.三角函数式的求值(多维探究)角度一给角求值计算2cos10°－23cos（－100°）1－sin10°＝．【解析】2cos10°－23cos（－100°）1－sin10°＝2cos10°＋23sin10°1－sin10°3＝412cos10°＋32sin10°1－2sin5°cos5°＝4cos50°cos5°－sin5°＝4cos50°2cos50°＝22.【答案】22角度二给值求值已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【解】(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.角度三给值求角(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为277，点Q的纵坐标为3314，则2α－β的值为．【解析】法一：由已知可知cosα＝277，sinβ＝3314.又α，β为锐角，所以sinα＝217，cosβ＝1314.4因此cos2α＝2cos2α－1＝17，sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.法二：同法一得，cosβ＝1314，sinα＝217.因为α，β为锐角，所以α－β∈－π2，π2.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝217×1314－277×3314＝2114.所以sin(α－β)＞0，故α－β∈0，π2，故cos(α－β)＝1－sin2（α－β）＝1－21142＝5714.又α∈0，π2，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinα·sin(α－β)＝277×5714－217×2114＝12.所以2α－β＝π3.【答案】π3三角函数求值的3种情况51．计算：4tanπ123tan2π12－3＝()A.233B．－233C.239D．－239解析：选D.原式＝－23·2tanπ121－tan2π12＝－23tanπ6＝－23×33＝－239.2．已知tanα＋π4＝17，且α为第二象限角，若β＝π8，则sin(α－2β)cos2β－cos(α－2β)sin2β＝()A．－35B.35C．－45D．45解析：选D.tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝17，所以tanα＝－34，又α为第二象限角，所以cosα＝－45，所以sin(α－2β)·cos2β－cos(α－2β)sin2β＝sin(α－4β)＝sinα－π2＝－cosα＝45，故选D.3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，则cos(α＋β)＝，α＋β＝．解析：因为α，β为锐角，sinα＝55，sinβ＝1010，所以cosα＝255，cosβ6＝31010，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝22，α＋β＝π4.答案：22π4[基础题组练]1．已知sin2α＝23，则cos2α＋π4等于()A.16B.13C.12D．23解析：选A.cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π42＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2，又sin2α＝23，所以原式＝1－232＝16，故选A.2.sin10°1－3tan10°＝()A.14B.12C.32D．1解析：选A.sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°412cos10°－32sin10°＝sin20°4sin（30°－10°）＝14.3．若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为()A．－35B.3357C.319D．37解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan（α＋80°）－tan60°1＋tan（α＋80°）tan60°＝23－31＋23×3＝37.故选D.4．已知cos2α－π3＝－13，则sinα＋π6－cosα＝()A．±33B．－63C.63D．±63解析：选D.sinα＋π6－cosα＝sinαcosπ6＋cosαsinπ6－cosα＝sinα－π6，而cos2α－π3＝1－2sin2α－π6＝－13，则sinα－π6＝±63，所以sinα＋π6－cosα＝±63，故选D.5．若2cos2θcosπ4＋θ＝3·sin2θ，则sin2θ＝()A.13B.23C．－23D．－13解析：选C.由题意知2（cos2θ－sin2θ）cosθ－sinθ＝3sin2θ，所以2(cosθ＋sinθ)＝3sin2θ，则4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，因此sin2θ＝－23或sin2θ＝2(舍)．6．已知cos2θ＝45，则sin4θ＋cos4θ＝．解析：法一：因为cos2θ＝45，所以2cos2θ－1＝45，1－2sin2θ＝45，因为cos2θ＝910，sin2θ＝110，8所以sin4θ＋cos4θ＝4150.法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－12sin22θ＝1－12(1－cos22θ)＝1－12×925＝4150.答案：41507．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sinα＋3cosα＝－10，则tan2α＝．解析：因为(sinα＋3cosα)2＝sin2α＋6sinαcosα＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sinαcosα＋cos2α＝0，则(3tanα－1)2＝0，即tanα＝13.所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.答案：348．tan70°·cos10°(3tan20°－1)等于．解析：tan70°·cos10°(3tan20°－1)＝sin70°cos70°·cos10°3·sin20°cos20°－1＝cos20°cos10°sin20°·3sin20°－cos20°cos20°＝cos10°·2sin（20°－30°）sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.答案：－19．已知tanα＝－13，cosβ＝55，α∈π2，π，β∈0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝55，β∈0，π2，得sinβ＝255，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21＋23＝1.9因为α∈π2，π，β∈0，π2，所以π2α＋β3π2，所以α＋β＝5π4.10．已知sinα＋π4＝210，α∈π2，π.求：(1)cosα的值；(2)sin2α－π4的值．解：(1)sinα＋π4＝210，即sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝210，化简得sinα＋cosα＝15，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cosα＝－35或cosα＝45，因为α∈π2，π.所以cosα＝－35.(2)因为α∈π2，π，cosα＝－35，所以sinα＝45，则cos2α＝1－2sin2α＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝－2425，所以sin2α－π4＝sin2αcosπ4－cos2αsinπ4＝－17250.[综合题组练]1．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈－π6，π12，且2sin2θ＋3sin2θ＝－15，则tan2θ＋π12＝．解析：由2sin2θ＋3sin2θ＝－15，得1－cos2θ＋3sin2θ＝－15，得cos2θ－3sin2θ＝65，2cos2θ＋π3＝65，即cos2θ＋π3＝35，又θ∈－π6，π12，所以2θ10＋π3∈0，π2，则tan2θ＋π3＝43，所以tan2θ＋π12＝tan2θ＋π3－π4＝tan2θ＋π3－tanπ41＋tan2θ＋π3tanπ4＝17.答案：172．(2019·高考江苏卷)已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是．解析：tanαtanα＋11－tanα＝tanα（1－tanα）tanα＋1＝－23，解得tanα＝2或tanα＝－13，当tanα＝2时，sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此时sin2α＋cos2α＝15，同理当tanα＝－13