2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念单元测试题 新人教A版必修1

-1-第一章集合与函数概念能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．(2019年山东枣庄模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为()A．32B．31C．16D．15【答案】D【解析】集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，a∈A，b∈B，则a，b的组合有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，∵集合M＝{x|x＝a＋b}，∴M＝{5,6,7,8}，集合M中有4个元素，有24－1＝15个真子集．故选D．2．如图所示，阴影部分表示的集合是()A．(∁UB)∩AB．(∁UA)∩BC．∁U(A∩B)D．∁U(A∪B)【答案】A【解析】由图可知阴影部分属于A，不属于B，故阴影部分为(∁UB)∩A，所以选A．3．(2019年山东潍坊期中)下列图象可以表示以集合M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以集合N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()【答案】C【解析】易知选项A的值域不是[0,1]，选项B的定义域不是[0,1]，选项D不是函数，只有C符合题意．4．(2019年江西南昌期末)函数f(x)＝2x＋12x2－x－1的定义域是()A．xx＞－12B．xx≠－12C．xx≠－12且x≠1D．xx＞－12且x≠1【答案】D-2-【解析】由题意得2x＋1≥0，2x2－x－1≠0，解得x＞－12且x≠1．故选D．5．已知函数fx－1x＝x2＋1x2，则f(3)＝()A．10B．11C．12D．13【答案】B【解析】∵fx－1x＝x－1x2＋2，∴f(3)＝9＋2＝11．6．函数f(x)对于任意实数x满足f(x＋2)＝1fx，若f(1)＝－5，则f[f(5)]等于()A．2B．5C．－5D．－15【答案】D【解析】f(5)＝1f3＝f(1)＝－5，f(－5)＝1f3＝f(－1)＝1f1＝－15．7．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是()ABCD【答案】A【解析】由于函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x＝0处是断开的，故可以排除C，D；由于当x为很小的正数时，f(x)0且g(x)0，故f(x)·g(x)0，可排除B，故选A．8．设f(x)是R上的偶函数且在(－∞，0)上为减函数，若x10且x1＋x20，则()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)f(x2)D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小【答案】C【解析】∵x10且x1＋x20，∴－x2x10．又f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴f(－x2)f(x1)．而f(x)又是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．∴f(x1)f(x2)．-3-9．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)1的解集为()A．{x|x3或－3x0}B．{x|x－3或0x3}C．{x|x－3或x3}D．{x|－3x0或0x3}【答案】C【解析】由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x0时，f(x)1，即为f(x)f(3)，则x3；当x0时，f(x)＜1，即f(x)f(－3)，则x－3．故选C．10．(2019年湖北武汉期末)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，集合Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为()A．147B．140C．130D．117【答案】B【解析】y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素；当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140．故选B．11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝gxfxgxfxfxgx.则F(x)的最值是()A．最大值为3，最小值－1B．最大值为7－27，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，又无最小值【答案】B【解析】作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值且最大值不是3，故选B．12．设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，则t的取值范围是()A．[－2,2]B．－12，12-4-C．[2，＋∞)∪(－∞，－2]∪{0}D．12，＋∞∪－∞，－12∪{0}【答案】C【解析】由题意，得f(1)＝－f(－1)＝1．又∵f(x)在[－1,1]上是增函数，∴当x∈[－1,1]时，有f(x)≤f(1)＝1．∴t2－2at＋1≥1在a∈[－1,1]时恒成立．∴t2＋2t＋1≥1，t2－2t＋1≥1，解得t≥2或t≤－2或t＝0．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．(2018年江苏)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________．【答案】{1,8}【解析】A∩B＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．14．(2019年山东临沂期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋20}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】∵x2－3x＋20，∴x2或x1．∴A＝{x|x2或x1}．∵B＝{x|x≤a}，∴∁UB＝{x|xa}．∁UB⊆A，借助数轴可知a≥2．故选D．15．函数f(x)＝2x－x2，0＜x≤3，x2＋6x，－2≤x≤0的值域是______．【答案】[－8,1]【解析】设g(x)＝2x－x2,0＜x≤3，结合二次函数的单调性可知g(x)min＝g(3)＝－3，g(x)max＝g(1)＝1．设h(x)＝x2＋6x，－2≤x≤0，则h(x)min＝h(－2)＝－8，h(x)max＝h(0)＝0．所以f(x)max＝g(1)＝1，f(x)min＝h(－2)＝－8．16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f(2)＝0，则不等式f(x)0的解集为________．【答案】{x|－2x2}【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(2)＝0，所以f(－2)＝0．又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．故满足f(x)0的x的取值范围应为(－2,2)，即f(x)0的解集为{x|－2x2}．三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)设集合A＝{x|0x－m3}，B＝{x|x≤0或x≥3}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围：(1)A∩B＝∅；(2)A∪B＝B．【解析】因为A＝{x|0x－m3}，所以A＝{x|mxm＋3}．-5-(1)当A∩B＝∅时，有m≥0，m＋3≤3，解得m＝0．(2)A∪B＝B时，有A⊆B，所以m≥3或m＋3≤0，解得m≥3或m≤－3．18．(12分)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝x－1，x0，2－x，x0.(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式．【解析】(1)∵g(2)＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝0．∵f(2)＝3，∴g(f(2))＝g(3)＝2．(2)f(g(x))＝(g(x))2－1＝x－12－1，x0，2－x2－1，x0.∴f(g(x))＝x2－2x，x0，x2－4x＋3，x0.g(f(x))＝fx1，fx0，2－fxfx0＝x2－11，x2－10，2x2－1x2－10.∴g(f(x))＝x2－2，x1或x－1，－x2＋3，－1x1.19．(12分)若f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数且对一切x，y0，满足fxy＝f(x)－f(y)．(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f132．【解析】(1)在fxy＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0．(2)∵f(6)＝1，∴f(x＋3)－f132＝f(6)＋f(6)．∴f(3x＋9)－f(6)f(6)，即fx＋32f(6)．∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴x＋30，x＋326，解得－3x9，即不等式的解集为(－3,9)．-6-20．(12分)已知奇函数f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋mx，x0.(1)求实数m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增函数，结合函数f(x)的图象，求实数a的取值范围；(3)结合图象，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．【解析】(1)当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x．又当x0时，f(x)＝x2＋mx，∵对任意x0，总有x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2．函数f(x)的图象如图所示．(2)由(1)，知f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋2x，x0.由图象可知，函数f(x)的图象在区间[－1,1]上是“上升的”，∴函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．要使f(x)在[－1，a－2]上是增函数，需有a－2－1，a－2≤1，解得1a≤3，即实数a的取值范围是(1,3]．(3)由图象可知，函数f(x)的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f(1))，最低点是(－1，f(－1))，又f(1)＝－1＋2＝1，f(－1)＝1－2＝－1，∴函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1．-7-21．(12分)已知函数f(x)＝x＋mx且此函数的图象过点(1,5)．(1)求实数m的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)讨论函数f(x)在区间[2，＋∞)上的单调性，证明你的结论．【解析】(1)∵f(x)过点(1,5)，∴1＋m＝5⇒m＝4．(2)对于f(x)＝x＋4x，∵x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∴f(－x)＝－x＋4－x＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(3)证明：设x1，x2∈[2，＋∞)且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4x2－x1x1x2＝x1－x2x1x2－4x1x2．∵x1，x2∈[2，＋∞)且x1x2，∴x1－x20，x1x24，x1x20．∴f(x1)－f(x2)0．∴f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．22．(12分)定义在R上的函数f(x)，满足当x0时，f(x)1且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2．(1)求f(0)的值；(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)0；(3)解不等式f(3－2x)4．【解析】(1)对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)．令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)－1]＝0．令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x∈R成