2019-2020学年高中数学 阶段评估（一） 北师大版必修3

1阶段评估(一)时间：45分钟满分：100分一、选择题(6×5＝30分)1．下列抽样方法是简单随机抽样的是()A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)解析：选DA中平面直角坐标系中有无数个点，不是简单随机抽样；B中是一次性抽取20瓶，不符合逐个抽取的特点，故不是简单随机抽样；C中50名战士是最优秀的，不是等可能抽取，所以不是简单随机抽样；D是简单随机抽样．2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()A．50B．60C．70D．80解析：选C由题意得15n＝33＋4＋7＝314，得n＝15×143＝70.3．根据某市环境保护局公布2008～2013这六年的空气质量优良的天数，绘制成折线图如图，根据图中的信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是()A．300B．302.5C．305D．310解析：选B该组数据为290,295,300,305,305,315，共6个数，中位数为300＋3052＝302.5.4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的2学生人数为()A．588B．480C．450D．120解析：选B根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.015)＝0.8.由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60分的人数为600×0.8＝480(人)．5．(2017·山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A．3,5B．5,5C．3,7D．5,7解析：选A根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，所以56＋62＋65＋74＋70＋x5＝59＋61＋67＋60＋y＋785，解得x＝3.6．若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1,2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是()A．平均数为10，方差为2B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2D．平均数为12，方差为43解析：选C由平均数及方差的计算公式知，新数据的平均数为10＋1＝11，方差不变，还是2.二、填空题(3×5＝15分)7．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶4∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：50×43＋4＋3＝20.答案：208．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法把编号分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，那么抽取的第40个号码为________．解析：第40个号码为0015＋39×20＝0795.答案：07959．为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3∶2，则全校抽取学生数为________．解析：∵第四小组和第五小组的频率之和为(0.0375＋0.0125)×5＝0.25，∴前三组的频率之和为1－0.25＝0.75.∴第二小组的频率为0.75×26＝0.25.又第二小组的频数为12，∴抽取的男生人数为12÷0.25＝48.∴抽取的女生人数为48×23＝32，∴全校共抽取48＋32＝80(人)．答案：80三、解答题(55分)10．(13分)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，前3组数据的频数之和为27.(1)求n的值；(2)若从这n个人中任取一个，落在第三组的频率是多少？解：(1)设第一组至第六组的样本数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋44x＝27，∴x＝3，∴n＝20x＝60.(2)由(1)知第三组人数为4x＝12，∴落在第三组的频率为1260＝15.11．(13分)要加工一圆形零件，按图纸要求，直径为10mm，现在由甲、乙两人加工此种零件，在他们的产品中各抽5件测得直径如下：甲：10.0510.029.979.9610.00乙：10.0010.0110.029.9710.00问甲、乙两人谁生产的零件较好？解：x甲＝15(10.05＋10.02＋9.97＋9.96＋10.00)＝10.s2甲＝15[(10.05－10)2＋(10.02－10)2＋(9.97－10)2＋(9.96－10)2＋(10.00－10)2]＝0.00108.x乙＝15(10.00＋10.01＋10.02＋9.97＋10.00)＝10.s2乙＝15[(10.00－10)2＋(10.01－10)2＋(10.02－10)2＋(9.97－10)2＋(10.00－10)2]＝0.00028.由计算可知两者样本均值相同，前者样本方差较大，由此估计乙生产的零件质量较好．12．(14分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中的a值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，5解得a＝0.30.(2)由(1)可知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.730.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.480.5，所以2x2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．13．(15分)(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组[－0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y＝1100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝1100i＝15ni(yi－y)2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.6