2019-2020学年高中数学 课时作业15 解三角形的实际应用举例 北师大版必修5

1课时作业(十五)1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°答案D2．一只船速为23米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为()A．120°B．90°C．60°D．30°答案B3．一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距82海里，则灯塔S在B处的()A．北偏东75°B．南偏东15°C．北偏东75°或南偏东15°D．以上方位都不对答案C4．某人朝正东方向走了xkm后，向左转150°，然后朝新方向走了3km，结果他离出发点恰好为3km，那么x的值是()A.3B．23C.3或23D．3答案C5．一船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h后，该船实际航行为()A．215kmB．6kmC.84kmD．8km答案B6．有货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货2轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(6＋2)海里/小时B．20(6－2)海里/小时C．20(6＋3)海里/小时D．20(6－3)海里/小时答案B7.(2015·厦门高二检测)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜率15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝()A.32B.3C.3－1D.2－1答案C8．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时答案B9．河两岸A，B两点，现测得BC＝32米，∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________米(结果不要求取近似值)．答案3263解析AB＝BC·sinCsinA＝32·sin45°sin60°＝3263(米)．10．某市全运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为106米，则旗杆的高度为________米．3答案30解析由题意可知∠BAM＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得ANsin45°＝106sin30°，解得AN＝203米，在△AMN中，MN＝203×sin60°＝30(米)，故旗杆的高度为30米．11．如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析在△BCD中，∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，∴BC＝2.在△ACD中，∠CAD＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°，∴CDsin45°＝ACsin30°，∴AC＝22.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°＝32，∴AB＝62，∴船速为622＝64千米/分钟．412．在山脚A处测得山顶S的仰角为45°，沿倾斜角为15°的该斜坡向上走100m到B，又测得S的仰角为75°，求山高SD.解析在△ABS中，∠SAB＝45°－15°＝30°，∠ASB＝30°，∠ABS＝120°，AB＝100m，由正弦定理，得SA＝100×sin120°sin30°＝1003(m)．在Rt△SAD中，SD＝SA·sin45°＝1003×22＝506(m)．所以山高SD为506m.13.(2015·辽宁高二检测)如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间．解析由题意知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB.所以DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）sin45°sin105°＝5（3＋3）sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝5（3＋3）·2222·12＋22·32＝103.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203，在△DBC中，由余弦定理，得5CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝(103)2＋(203)2－2·103·203·12＝900，所以CD＝30.又航行速度为30海里/小时，所以该救援船到达D点需要1小时．14．(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析(1)在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35，所以sinA＝513，sinC＝45.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB×sinC＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)．6因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝12606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[125043，62514](单位：m/min)范围内．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．解析方法一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理，得AM＝dsinα2sin（α1＋α2）；第二步：计算AN，由正弦定理，得AN＝dsinβ2sin（β2－β1）；7第三步：计算MN.由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM×ANcos（α1－β1）方法二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM＝dsinα1sin（α1＋α2）；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN＝dsinβ1sin（β2－β1）；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝BM2＋BN2＋2BM×BNcos（β2＋α2）.1．(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且ab，则∠B＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案A解析根据正弦定理，得asinBcosC＋csinBcosA＝12b等价于sinAcosC＋sinCcosA＝12，即sin(A＋C)＝12.又ab，∴∠A＋∠C＝5π6，∴∠B＝π6.故选A项．2．(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．答案23解析方法一：在△ABC中，根据正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，所以4sinB＝23sin60°，解得sinB＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝12·AC·BC·sinC＝23.方法二：在△ABC中，根据正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，所以4sinB＝23sin60°，解得sinB＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以AB＝42－（23）2＝2.所以△ABC的面积S△ABC＝12·AB·BC＝23.83．设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．答案2π3解析∵由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理，可得a2＋b2－c2＝－ab.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12，∴C＝2π3.4．(2014·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．解析(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝23.(2)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.由于0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝1－19＝223.故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26.5．(2013·北京)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)若c的值．解析(1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得3sinA＝26sin2A.所以2sinAcosAsinA＝263.故cosA＝63.(2)由(1)知，cosA＝63，所以sinA＝1－cos2A＝33.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝13.所以sinB＝1－cos2B＝223.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝539.9所以c＝asinCsinA＝5.6．(2013·四川)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2A－B2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－35，(1)求cosA的值；(2)若a＝42，b＝5，求向量BA→在BC→方向上的投影．解析(1)由2cos2A－B2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－35，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－35，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－35.则cos(A－B