2019-2020学年新教材高中数学 课后作业56 三角函数的应用 新人教A版必修第一册

1课后作业(五十六)复习巩固一、选择题1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是()A.150B．50C.1100D．100[解析]T＝2π100π＝150.[答案]A2．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cosglt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于()A.gπB.g2πC.gπ2D.g4π2[解析]T＝2πgl＝1，∴2π＝gl，∴l＝g4π2，故选D.[答案]D3．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y100009500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A．10000元B．9500元C．9000元D．8500元[解析]因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取3π2，φ可取π，即y＝500sin3π2x＋π＋9500，当x＝3时，y＝9000.2[答案]C4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)[解析]令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝9－52＝2可排除C；或由题意，可得A＝9－52＝2，b＝7，周期T＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f(x)＝2sinπ4x＋φ＋7.∵当x＝3时，y＝9，∴2sin3π4＋φ＋7＝9，即sin3π4＋φ＝1.∵|φ|π2，∴φ＝－π4.∴f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)．[答案]A5．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是()3A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为－5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零[解析]该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5cm，故B是错误的；该质点在0.1s和0.5s时的振动速度是零，所以C是错误的．故选D.[答案]D二、填空题6．如图某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.[解析]由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sinπ6x＋φ＋5，∴ymax＝3＋5＝8.[答案]87．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．[解析]过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cos∠POQ＝12，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，4即13个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×13＝5秒．[答案]58．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________，x∈[0,24]．[解析]将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知，A＝6，T＝12，∴ω＝2πT＝π6.将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为y＝6sinπ6x－π＝－6sinπ6x.[答案]y＝－6sinπ6x三、解答题9．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？[解](1)由表中数据，知周期T＝12.∴ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，5∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为12，∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋11，∴cosπ6t0.∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2.即12k－3t12k＋3，①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9∶00至下午3∶00.综合运用10．有一冲击波，其波形为函数y＝－sinπx2的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是()A．5B．6C．7D．8[解析]由y＝－sinπx2的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－T4＝7T4，即t≥74·2π|ω|＝74·2ππ2＝7.故选C.[答案]C11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是12，32，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A．[0,1]B．[1,7]C．[7,12]D．[0,1]和[7,12][解析]由已知可得该函数具有周期性，其周期T＝12，不妨设该函数为y＝asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)，∴ω＝2πT＝π6.又∵当t＝0时，A12，32，∴y＝sinπ6t＋π3，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．6[答案]D12.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－πθπ)与时间t(s)满足函数关系式θ＝12sin2t＋π2，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．[解析]当t＝0时，θ＝12sinπ2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π.[答案]12，1π13．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与θ之间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？[解](1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角7为θ－π2.故B点坐标为4.8cosθ－π2，4.8sinθ－π2.∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2，θ∈[0，＋∞)．(2)点A在圆上转动的角速度是π30，故t秒转过的弧度数为π30t，∴h＝5.6＋4.8sinπ30t－π2，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4m.由sinπ30t－π2＝1.得π30t－π2＝π2，∴t＝30.∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．