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1第六节模态分析法(振型叠加法)(教材6.15)一、模态分析法(振型叠加法)原理对于n个自由度系统,其在广义坐标系下的运动微分方程为()MxkxFt(6-61)设在t=0时,有初始条件:0(0)xx和0(0)xx通过求解特征值问题,可得系统的固有频率和振型向量,(1,2,,)niiuin和正则振型向量1(1,2,,)iiiuinM以正则振型矩阵作为变换矩阵,令()()xtzt(a)代入方程(6-61),并前乘以正则振型矩阵的转置T,得()TTTMzkzFt(b)∵TMI21222nTnnnk令()()TPtFt----是正则坐标系下的激励。2则方程(b)为()zzPt(c)展开后,得21111222222()()()nnnnnnnzzPtzzPtzzPt(6-67)式中()()(1,2,,)TiiPtFtin,为对应第i个正则坐标的激励。对于方程(6-67)是一组n个独立的方程,每个方程和单自由度系统的强迫振动相同,因此可按单自由度系统中的方法独立地求解每个方程。则由杜哈美积分得方程(6-67)的通解000()cossin1()sin()1,2,,iiinininitininizztzttPtdin式中0iz和0iz是第i个正则坐标的初始位移和初始速度。∵xz∴有00xz(d)和00xz(e)用TM前乘以式(d)两端,得300TTMxMz∴00TzMx同理,有00TzMx写成分量形式00,(1,2,,)TiizMxin00,(1,2,,)TiizMxin最后,由方程(a),将正则坐标的解z变换到原广义坐标x,就得到方程(6-61)的解。即()()xtzt(a)注:(1)对于方程(6-61)的求解方法:①采用直接积分求其分析解或数值解的方法-----直接积分法;②模态分析法(振型叠加法)。(2)振型截断法在许多工程问题中系统的自由度很多,要想求出系统的所有固有频率和振型向量,计算成本很大,有时甚至是不可能的。由于激励的高频成分很微弱,或者由于系统的高频振动没有激发出来,总之系统的响应中只有较低的几阶振型分量。因此,使用振型叠加法可以使计算大大地简化。例如,若系统为n自由度,且只需考虑前p(pn)阶4固有特性,即只需计算出系统前p阶固有频率和振型向量:,(1,2,,)niiip则振型矩阵12npp是一个n×p的矩阵。作如下的线性变换11()()npnpxtzt代入方程(6-61),并前乘以正则振型矩阵的转置T,得()TTTMzkzFt(b)TpnnnnpppMI21222nTnpnnnnpppnpppk11()()TpnpnPtFt∴111()pppppzzPt展开后,得21111222222()()()nnpppppzzPtzzPtzzPt则原广义坐标下的响应为5121112pnpnppxzzzz这种处理方法称为振型截断法。6二、振型叠加法计算步骤1.建立广义坐标系下的运动微分方程()MxkxFt给出广义坐标系下初始条件:0x和0x2.计算固有频率和振型向量,(1,2,,)niiuin计算主质量:(1,2,,)TiiiMuMuin得正则振型向量:1(1,2,,)iiiuinM3.初始条件变换00(1,2,,)TiizMxin00(1,2,,)TiizMxin4.激励变换()()(1,2,,)TiiPtFtin5.计算正则坐标系下的响应正则坐标系下运动微分方程2()(1,2,,)iniiizzPtin利用杜哈美积分写出正则坐标系下的响应000()cossin1()sin()(1,2,,)iiinininitininizztzttPtdin6.写出原广义坐标系下的响应71212nnxzzzz例题1:图示系统,已知:123mmmm,1234kkkkk。在质量1m作用一阶跃载荷10()FtF。试用振型叠加法计算系统的响应。m1m2m3k3k1x2x1x3k2k41()Ft1()Ftt0F解:(1)系统的振动微分方程为1112233()0020002000020xxFtmkkmxkkkxmkkxx(2)计算系统的固有频率和振型向量由20nkM,可解得系统的三个固有频率12322222,,nnnkkkmmm8振型向量为1231112,0,2111uuu计算主质量1111001210024001TMuMummmm同理2222TMuMum3334TMuMum则正则振型向量为111111221uMm222111021uMm333111221uMm9(4)载荷变换正则坐标系下的激励为00111()1210220TFFPFtmm00221()1010220TFFPFtmm00331()1210220TFFPFtmm(5)正则坐标系下的响应系统在正则坐标系下的运动方程为211112222223333nnnzzPzzPzzP由杜哈美积分000()cossin1()sin()iiinininitininizztzttPtd得10∵20()sin()1costiiininininiPPzttdt∴11121()1cosnnPztt22222()1cosnnPztt33323()1cosnnPztt(5)原广义坐标系下的响应123123()()()()()xtztztztzt11例题2:图示系统,已知:123mmmm,12kkk。在质量2m作用一阶跃载荷20()FtF。试用振型叠加法计算系统的响应。设0t时,有1020300xxx102030,0xvxx。m1m2m3k1x2x1x3k22()Ft2()Ftt0F解:(1)系统的振动微分方程为11222330000002()0000xxmkkmxkkkxFtmkkxx(2)计算系统的固有频率和振型向量由20nkM,得122220200nnnkmkkkmkkkm特征方程2222222()0nnnkmkmkkm解得系统的三个固有频率12330,,nnnkkmm伴随矩阵B的第一列为222222nnnkmkmkkkmk分别把1n、2n和3n代入,得振型向量1231111,0,2111uuu将振型向量正则化,主质量1110011110013001TMuMummmm132222TMuMum3336TMuMum则正则振型向量为111111131uMm222111021uMm333111261uMm(3)初始条件的变换∵原广义坐标系下的初始位移00x∴正则坐标系下的初始位移00z正则坐标系下的初始速度为101000111100033000TzMxmvmmvmm14202000110100022000TzMxmvmmvmm303000112100066000TzMxmvmmvmm(4)载荷变换正则坐标系下的激励为010101()111330TFPFtFmm20201()101020TPFtFm0303021()121660TFPFtFmm15(5)正则坐标系下的响应系统在正则坐标系下的运动方程为11zP(1)22220nzz(2)23333nzzP(3)由系统在正则坐标系下的运动方程可见,三个方程有三种不同的形式,因此具有不同的解。方程(1)是刚体运动方程;方程(2)表示的是自由振动;方程(3)的是强迫振动。方程(3)的解由杜哈美积分确定,即303303333033303332331()cossin()sin()sin1costnnnnnnnnnzztzttPtdzPtt根据杜哈美积分,则方程(2)的解为202202222022()cossinsinnnnnnzztzttzt因为10n,所以不能用杜哈美积分解方程(1)。对于正则坐标系下的刚体运动方程iizP对其进行二次积分,则可得正则坐标的响应160000()ttiiiizPtdtdtztz若初始条件为零,有100()ttizPtdtdt由此,可得方程(1)的解为1111010002ttPtzPdtdtztzt综上三个正则坐标系下的响应为11102Ptzzt-----刚体运动20222()sinnnzztt-----自由振动303333233()sin1cosnnnnzPzttt-----强迫振动(6)原广义坐标系下的响应123123()()()()()xtztztztzt
本文标题:第六节振型叠加法
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