2017年高考数学天津理试题及解析

2017年高考数学天津理1.(2017年天津理)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{x∈R|-1≤x≤5}1.B【解析】(A∪B)∩C={1，2，4，6}∩[1,5]={1,2,4}．故选B．2.(2017年天津理)设变量x,y满足约束条件2x+y≥0，x+2y-2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z=x+y的最大值为（）A.23B.1C.32D.32.D【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），则可行域为四边形ABCD及其内部，其中A（0，1），B（0，3），C（-32，3），D（-23，43），易得直线y=-x+z过点B（0，3）时，z=x+y取最大值为3.故选D．3.(2017年天津理)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A.0B.1C.2D.33.C【解析】初始N=19，进入循环后N的值依次为N=18,N=6,N=2，结束循环，输出N=2.故选C．4.(2017年天津理)设θ∈R，则“|θ-π12|＜π12”是“sinθ＜12”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.A【解析】|θ-π12|＜π120＜θ＜12，但θ=0时，sinθ=0＜12，不满足|θ-π12|＜π12，所以“|θ-π12|＜π12”是“sinθ＜12”的充分不必要条件.故选A.5.(2017年天津理)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为2．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=15.D【解析】由题意得a=b，4-00-（-c）=1c=4，a=b=22x28-y28=1.故选B．6.(2017年天津理)已知奇函数f(x)在R上是增函数．g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3)，则a,b,c的大小关系为()A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜a＜cD.b＜c＜a6.C【解析】因为f（x）是奇函数且在R上是增函数，所以当x＞0时，f（x）＞0，从而g（x）=xf（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，a=g(-log25.1)=g(log25.1)，20.8＜2，又4＜5.1＜8，则2＜log25.1＜3，所以0＜20.8＜log25.1＜3，g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），所以b＜a＜c.故选C.7.(2017年天津理)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A.ω=23，φ=π12B.ω=23，φ=-11π12C.ω=13，φ=-11π24D.ω=13，φ=7π247.A【解析】由题意得5ωπ8+φ=2k1π+π2，11ωπ8+φ=k2π，其中k1，k2∈Z，所以ω=43（k2-2k1）-23，又T=2πω＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω=23，11212k，由|φ|＜π得φ=π12，故选A．8.(2017年天津理)已知函数f（x）=x2-x+3，x≤1，x+2x，x＞1.设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|x2+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A.[-4716，2]B.[-4716，3916]C.[-23，2]D.[-23，3916]8.A【解析】不等式f（x）≥|x2+a|可化为-f（x）≤x2+a≤f（x），（*）当x≤1时，（*）式即-x2+x-3≤x2+a≤x2-x+3，即-x2+x2-3≤a≤x2-32x+3，又-x2+x2-3=-（x-14）2-4716≤-4716（当x=14时取等号），x2-32+3=（x-34）2+3916≥3916（当x=34时取等号），所以-4716≤a≤3916，当x＞1时，（*）式为-x-2x≤x2+a≤x+2x，-32x-2x≤a≤x2+2x.又-32x-2x=-（32x+2x）≤23（当x=233时取等号），x2+2x≥2x2·2x=2（当x=2时取等号），所以-23≤a≤2．综上，-4716≤a≤2．故选A．9.(2017年天津理)已知a∈R，i为虚数单位，若a-i2+i为实数，则a的值为___________．9.-2【解析】a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=(2a-1)-(a+2)i5=2a-15-a+25i为实数，则a+25=0,a=-2．10.(2017年天津理)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．10.9π2【解析】设正方体的边长为a，则6a2=18a=3，其外接球直径为2R=3a=3，故这个球的体积V=43πR3=43π×278=9π2．11.(2017年天津理)在极坐标系中，直线4ρcos（θ-π6）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为___________．11.1【解析】直线为23x+2y+1=0，圆为x2+（y-1）2=1，因为d=34＜1，所以有两个交点．12.(2017年天津理)若a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4+1ab的最小值为___________．12.4【解析】a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24ab·1ab=4，前一个等号成立的条件是a2=2b2，后一个等号成立的条件是ab=12，两个等号可以同时成立，当且仅当a2=22，b2=24时取等号．13.(2017年天津理)在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若→BD=2→DC，→AE=λ→AC-→AB（λ∈R），且→AD·→AE=-4，则λ的值为___________．13.311【解析】由题可得→AB·→AC=3×2×cos60°=3，→AD=13→AB+23→AC，则→AD·→AE=（13→AB+23→AC）（λ→AC-→AB）=λ3×3+2λ3×4-13×9-23×3=-4λ=311．14.(2017年天津理)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）14.1080【解析】A45+C14C35A44=1080.15.(2017年天津理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=35．（1）求b和sinA的值；（2）求sin（2A+π4）的值．15.解：（1）在△ABC中，因为a＞b，故由sinB=35，可得cosB=45.由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB=13，所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=31313.所以，b的值为13，sinA的值为31313.（2）由（1）及a＜c，得cosA=21313，所以sin2A=2sinAcosA=1213，cos2A=1-2sin2A=-513.故sin（2A+π4）=sin2Acosπ4+cos2Asinπ4=7226.16.(2017年天津理)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．16.解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=（1-12）×（1-13）×（1-14）=14，P（X=1）=12×（1-13）×（1-14）+（1-12）×13×（1-14）+（1-12）×（1-13）×14=1124，P（X=2）=（1-12）×13×14+12×（1-13）×14+12×13×（1-14）=14，P（X=3）=12×13×14=124.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望E（X）=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.（2）设Y表示第1辆车遇到红灯的个数，Z表示第2辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）P（Z=1）+P（Y=1）P（Z=0）=14×1124+1124×14=1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．17.(2017年天津理)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角C-EM-N的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．17.解：如图，以A为原点，分别以→AB，→AC，→AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）．（1）易得→DE=（0，2，0），→DB=（2，0，2）．设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量，则n·→DE=0，n·→DB=0，即2y=0，2x-2z=0.不妨设z=1，可得n=（1，0，1）．又→MN=（1，2，1），可得→MN·n=0．因为MN平面BDE，所以MN∥平面BDE．（2）易知n1=（1，0，0）为平面CEM的一个法向量.设n2=（x，y，z）为平面EMN的一个法向量，则n2·→EM=0，n2·→MN=0，因为→EM=（0，-2，-1），→MN=（1，2，-1），所以-2y-z=0，x+2y-z=0.不妨设y=1，可得n2=（-4，1，-2）.因此有cosn1,n2=n1·n2|n1||n2|=-421，于是sinn1,n2=10521.所以，二面角C-EM-N的正弦值为10521.（3）依题意，设AH=h（0≤h≤4），则H（0，0，h），进而可得→NH=（-1，-2，h），→BE=（-2，2，2）．由已知，得|cos→NH,→BE=→NH·→BE|→NH||→BE|=|2h-2|h2+5×23=721，整理得10h2-21h+8=0，解得h=85或h=12．所以，线段AH的长为85或12．18.(2017年天津理)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*)．18.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q2+q-6=0.又因为q＞0，解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8，①由S11=11b4，可得a1+5d=16，②联立①②，解得a1=1,d=3，由此可得an=3n-2．所以，数列{an}的通项公式为an=3n-2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．（2）设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn，由a2n=6n-2，b2n-1=2×4n-1，有a2nb2n-1=（3n-1）×4n，故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）×4n，4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n-1）×4n+(3n-1)×4n+1，上述两式相减，得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×（1-4n）1-4-4-（3n-1）×4n+1=-（3