材料力学第五章-梁的内力

12§5–1工程实际中的受弯杆§5–2梁的内力——剪力和弯矩§5–3剪力图和弯矩图§5–4荷载集度、剪力和弯矩间的关系§5–5按叠加原理作剪力图和弯矩图3§5–1工程实际中的受弯杆一、弯曲的概念1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。—集中力P4纵向对称面MP1P2q梁的实体图2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。3.工程实例67动画链接89墙梁楼板ql10对称弯曲也称为平面弯曲。纵向对称面MP1P2q4.对称弯曲——梁的每一个横截面至少有一根对称轴，这些对称轴构成对称面。所有外力都作用在其对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于这个对称面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。11非对称弯曲——若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。12(1)构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。(2)载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。均匀分布荷载M集中力集中力偶5.梁的简化13①固定铰支座如：桥梁下的固定支座。(3)支座简化14②可动铰支座如：桥梁下的辊轴支座。15③固定端如：跳水板的支座，电线杆下端的支座等。XAYAMA166.梁的分类按支座情况分①简支梁—集中力P17q(x)—分布力②悬臂梁18③外伸梁—集中力Pq—均布力19梁按支承反力的求解方法分：—集中力P②超静定梁①静定梁20§5–2梁的内力——剪力和弯矩一、梁的横截面上的内力计算图示梁，求截面n-n上的内力1.首先确定支反力RA、RB、XA（XA=0）2.然后使用截面法，假想在n-n处切开，并取脱离体。判断n-n截面上有哪些内力分量？?弯矩：M剪力：Q21①剪力Q:使研究对象有顺时针方向转动趋势的剪力为正；反之为负。②弯矩M：使梁变成下凸上凹形的弯矩为正；使梁变成上凸下凹的弯矩为负。Q(+)Q(–)Q(–)Q(+)M(+)M(+)M(–)M(–)二、剪力和弯矩的正负号规定22[例1].已知：如图，P，a，l。求：距A端x处截面上内力。PaPlRAXARBAABB①求外力,0XF0AX,0AmlPaRB,0YFlalPRA)(23ABPRAXARBmmx②求内力——截面法,0YFARAQMRBPMQCClalPRQA)(,0CmxRMA24[例2].求图(a)所示梁1--1、2—2、3--3截面处的内力。xy0YF解：截面法求内力。1--1截面处截取的分离体如图（b）示。图（a）0)(iAFmqqLab1133qLQ1AM1图（b）x1qL2201QqLqLQ1011MqLx011qLxM25qLQ2MqLaFmiB0,0)(22--2截面处截取的分离体如图（c）QqLFY002qLaM2qLQ2BM2a图（c）3--3截面处截取的分离体如图（d）qLQ3BaM3图（d）qL03Q23MqLaM结论：紧邻集中力作用的左、右截面上，剪力发生突变，变化值为集中力的大小；弯矩值不发生变化。261.内力方程：内力与截面位置坐标x间的函数关系式。2.剪力图和弯矩图：)(xQQ剪力方程)(xMM弯矩方程)(xQQ剪力图的图线表示)(xMM弯矩图的图线表示§5–3剪力图与弯矩图建立坐标系.剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标以向下为正273、作内力图步骤1求支反力2列剪力方程和弯矩方程a取其中的一段梁在任意位置以假想截面截开c应用静力平衡方程得到剪力Q（x）和弯矩M（x）的表达式b取以左（或以右）为研究对象，在截面加上所求的剪力Q（x）和弯矩M（x）（方向假定为正方向）3由剪力Q（x）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。428xMq悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程xlxqxxQ0＝lxqxxM02/2＝依方程画出剪力图和弯矩图Qxqll由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为qlQ＝max2/2maxqlM＝[例3]qxxQMx8/2ql2/2ql29例4:求图示梁的剪力图和弯矩图。0AM0BMRPblRPalAB,PABabxARBRC求支反力：1找控制面分段2分段列剪力和弯矩方程：3BlxBR()Qx()MxQxRPalB()()axlMxRlxPallxB()()()AxAR()Qx()MxQxRPblA()(0)xaMxRxPblxA()AC左CB右(0)xa()axl30由剪力Q（x）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。5＋－PblPalQxPABabxARBRC从图中不难看出：在集中力P作用处，Q图有突变，且突变值等于P，M图有尖角QxRPalB()()axlQxRPblA()(0)xa(0)xaMxRxPblxA()MxRlxPallxB()()()()axlPabl＋Mx31BAlRARB图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMRA＝M/lRB＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2x1ACaxlMxQ110/＝axlMxxM1110/＝CBbxlMxQ220/＝bxlMxxM2220/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图CMab例5：在集中力偶矩作用处，紧邻其左、右两侧截面的剪力相同，而弯矩发生突变，其突变值等于该力偶矩之值。lMa/lMb/M图lM/Q图32例6求图示梁的剪力图和弯矩图。求支反力：12224AqaqaRa54BAqaRqaR求剪力和弯矩方程：21()4Qxqa1(),(02)4Mxqaxxa()(3)Qxqax21()(3),(23)2MxqaxaxaAB2aaARBRCqxBRAB2aaARCqxAB段BC段33画剪力图和弯矩图：3+－Pa4Pa剪力图：弯矩图：－22qaBRAB2aaARCqx34作业：5-1(a,c)5-2(a,c)35一、载荷集度、剪力、弯矩间的关系对dx段进行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0xQxQxxqxQFY)x(Qx)x(qdddxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)M(x)dxAyxqxxQddq(x)以向上为正§5-4载荷集度、剪力和弯矩间的关系0)](d)([)())(d(21)d(,0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA)(d)(dxQxxM略去二阶微量)(d)(dxQxxM荷载集度与剪力、弯矩的微分关系是：)()()(22xqdxxdQdxxMdxqxxQdd37d()d()Qxxqxd()d()MxxQxd()dd()d()22MxxQxxqx左式说明：剪力图在一处的斜率等于该处的分布力的数值表示M图上某处的斜率等于该处剪力Q之值。表示M图上某处的斜率的变化率等于该处载荷集度q之值。38d()d()Qxxqxd()d()MxxQx根据载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系，可判断图形的性质：)()(22xqdxxMd1.q＝0，2.q＝常数，3.剪力Q=0处，弯矩取极值。4.集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变一.区间上二.点上分布载荷向上（q0），抛物线呈凸形；分布载荷向下（q0），抛物线呈凹形。Q=常数，剪力图为直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。Q(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。39把上面两个微分关系式积分xQxxMddxxQxMddbabaxxQxMddbaqAaQbQxqxxQddxxqxQddbabaxxqxQddbaQAaMbMABqABAQQ或写成ABQABAMM或写成40二、微积分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立Q一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状.进而画出剪力图与弯矩图。41BA1.5m1.5m1.5mRARB1kN.m2kN例1.简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝由BAMM得RA＝0.89kN,RB＝1.11kN2．确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF421.11(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mRARB1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐标系建立Q－x和M－x坐标系4．根据微分关系确定曲线的性质.5．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在Q－x和M－x坐标系中。0.891.3351.67(-)0.335xQ(kN)O0.89kN=＝1.11kN6．作出图形431.67kNm1.335kN.m（-）（+）解法2：1．确定约束力RA＝0.89kNRB＝1.11kN3．确定控制面为A、B、及C、D两侧截面。RBBA1.5m1.5m1.5mRA1kN.m2kNDC2．建立坐标系.0.89kN1.11kN4．从A截面右开始画剪力图。(-)0.335kNm5．从A右侧截面开始画弯矩图。Q图M图44qBADa4a例2试画出梁剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由00＝，＝BAMM求得A、B二处的约束力qaRqaRBA43,49＝＝2．确定控制面由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面;另外约束力RB右侧的截面C，以及集中力qa左侧的截面D，也都是控制面。CRARBqa454．确定控制面上的剪力值，并将其标在Q－x中。qBADa4aRARBqaC3．建立坐标系建立Q－x和M－x坐标系Q图M图4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5．确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。qa49qa43＝46（-）（-）（+）（+）（-）Q例3试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开qFDyFDyqaRARBMARARB2/3qaRB2/qaRA2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA4748简易作图法:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。[例4]用简易作图法画下图所示梁的内力图。解:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqA492230qaM;Q0;MqaQ2;qaMqaQ223;0qaMQ左端点：线形：根据)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxM；xqxxQdd；及集中载荷点的规律确定分区点A：M的驻点：右端点：Qx223qaqa2–qa–xMaaqaqA50§5-5按叠加原理作弯矩图一、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。)()()()(221121nnnPQPQPQPPPQ)()()()(221121nnnPMPMPMPPPM适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。51二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理——叠加方法步骤：①分别作出各项荷载单