高考数学第八章--解析几何

第1页共154页第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用[小题体验]1．(教材习题改编)直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选B设直线3x－y＋a＝0的倾斜角为α，k＝tanα＝3，且0°≤α180°，∴α＝60°.第2页共154页2．(教材习题改编)若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m＝________.答案：－23．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．答案：x＋13y＋5＝04．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2.答案：1或－21．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.[小题纠偏]1．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝02．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k＝－43，所以y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0第3页共154页考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．直线x＝π3的倾斜角等于()A．0B．π3C．π2D．π解析：选C直线x＝π3，知倾斜角为π2.2．(易错题)(2015·绥化一模)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B．0，π4∪3π4，πC．0，π4D．0，π4∪π2，π解析：选B因为直线xsinα＋y＋2＝0的斜率k＝－sinα，又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tanθ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是0，π4∪3π4，π.3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝32，kPA＝－2，kl＝－1m.∴－1m≤－2或－1m≥32.解得0m≤12或－23≤m0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．∴实数m的取值范围为－23≤m≤12.答案：－23，12[谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k＝tanα的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．如第4页共154页“题组练透”第2题易选错．(2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二直线方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为______________．解析：①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；②当m≠2时，直线l的方程为y－13－1＝x－2m－2，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0第5页共154页考点三直线方程的综合应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数几何意义相结合的问题；(3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2015·福建高考)若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5解析：选C将(1,1)代入直线xa＋yb＝1得1a＋1b＝1，a0，b0，故a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故a＋b的最小值为4.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2015·桂林模拟)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为()A．－1，－12B．[]－1，0C．[0,1]D．12，1解析：选A由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12.角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．第6页共154页解析：直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，代入半圆方程得B1＋32，－1＋32.所以直线AB的方程为y－1－1＋32－1＝x－11＋32－1，即3x＋y－3－1＝0.答案：3x＋y－3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A．π6B．π3C．2π3D．5π6解析：选D由直线的方程得直线的斜率为k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，所以α＝5π6.2．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A．33B．3C．－3D．－33解析：选A设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.第7页共154页3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：选D直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈π6，π4∪2π3，π，则k的取值范围是__________．解析：∵k＝tanα，α∈π6，π4∪2π3，π∴－3≤k0或33≤k≤1.答案：[－3，0)∪33，15．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．解析：由题意知A·B·C≠0，直线方程变形为y＝－ABx－CB.∵A·C0，B·C0，∴A·B0，∴其斜率k＝－AB0，又y轴上的截距b＝－CB0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2解析：选A∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3π4.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.2．(2016·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()第8页共154页A．0，π4B．3π4，πC．0，π4∪π2，πD．π4，π2∪3π4，π解析：选B依题意，直线的斜率k＝－1a2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是3π4，π.3．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A．4B．14C．－4D．－14解析：选A∵{an}为等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11，∴kPQ＝a4－a34－3＝4.4．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A．4x－3y－3＝0B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0D．4x－3y－4＝0解析：选D由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为12，则tanα＝12，所以直线l的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝43，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝43(x－1)，即4x－3y－4＝0.5．过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A．0，π6B．0，π3C．0，π6D．0，π3第9页共154页解析：选D法一：如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知OP＝2，OA＝1，则sinα＝12，所以α＝30°，∠BPA＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3