中考一轮复习专题练习七：函数与几何综合探究题(含解析)

第1页（共56页）中考一轮复习专题练习七：函数与几何综合探究题（含解析）1.如图，对称轴为直线的抛物线经过()，()两点，抛物线与轴的另一交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为第一象限内抛物线上一点，设四边形的面积为，求的最大值；（3）若是线段上一动点，在轴上是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把沿轴翻折，点落到点，过点的抛物线与直线交于点()．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在点，作垂直于轴，垂足为点，使得以，，为顶点的三角形与相似?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；第2页（共56页）（3）在直线上方的抛物线上有一动点，过点作垂直于轴，交直线于点，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线的顶点的坐标为()，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点()．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点()，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图，连接，若点是线段上的一动点，过点作线段的垂线，分别与线段．抛物线相交于点，（点，都在抛物线对称轴的右侧），当最大时，求的面积．第3页（共56页）4.如图，抛物线与轴交于(√)，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且√，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．第4页（共56页）5.如图，抛物线经过()，()，()三点，为直线上方抛物线上一动点，于点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）如图，求线段长度的最大值．（3）如图，设的中点为，连接，，是否存在点，使得中有一个角与相等?若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，四边形是矩形，点的坐标为()，点的坐标为()，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点出发，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止．设运动时间为秒．（1）当时，线段的中点坐标为；（2）当与相似时，求的值；第5页（共56页）（3）当时，抛物线经过，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图所示，问该抛物线上是否存在点，使?若存在，求出所有满足条件的的坐标；若不存在，说明理由．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点()和点()，过点作轴交抛物线于点．第6页（共56页）（1）求此抛物线的表达式；（2）点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；（3）若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．8.如图，已知抛物线与轴交于点()和点()，交轴于点，过点作轴，交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；第7页（共56页）（2）若直线()与线段，分别交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为，，且，求的值．9.已知抛物线的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移个单位，分别交轴于，两点，交轴于点，则平移后的解析式为．（2）判断的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，，，，点的坐标为()．抛物线经过，两点．第8页（共56页）（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，交线段于点，使．①求点的坐标；②在直线上是否存在点，使为直角三角形?若存在，求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，已知抛物线的图象经过点()，()，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．第9页（共56页）（1）求抛物线的解析式；（2）若动点在直线下方的抛物线上，连接，，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值；（3）如图，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．第10页（共56页）12.如图，抛物线过()，()，直线交抛物线于点，点的横坐标为，点()是线段上的动点．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）过点的直线垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长度与的关系式，为何值时，最长?（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数），使得，，，为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．13.如图所示，直线与轴交于点()，与轴交于点，抛物线经过点，．（1）求抛物线的解析式；第11页（共56页）（2）点在抛物线的对称轴上，求的最小值；（3）如图所示，是线段的上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点，．①若以，，为顶点的三角形与相似，则的面积为；②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数()的顶点坐标为()．14.如图，已知直线分别交轴，轴于点，，抛物线过，两点，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为，其对称轴交于点．①求点，的坐标；②是否存在点，使四边形为菱形?并说明理由；第12页（共56页）（2）当点的横坐标为时，是否存在这样的抛物线，使得以，，为顶点的三角形与相似?若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．15.如图，抛物线()与轴交于点，与轴交于点，两点（点在轴正半轴上），为等腰直角三角形，且面积为．现将抛物线沿方向平移，平移后的抛物线经过点时，与轴的另一交点为，其顶点为，对称轴与轴的交点为．（1）求，的值；（2）连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点，是否存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．第13页（共56页）16.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为()，()．过点()的双曲线()与矩形的边交于点．（1）填空：，，点的坐标为；（2）当时，经过点()与点()的直线交轴于点，点是过，两点的抛物线的顶点．①当点在双曲线上时，求证：直线与双曲线没有公共点；②当抛物线与矩形有且只有三个公共点，求的值；③当点和点随着的变化同时向上运动时，求的取值范围，并求在运动过程中直线在四边形中扫过的面积．17.抛物线经过点()，与它的对称轴直线交于点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，过定点的直线()与抛物线交于点，．若的面积等于，求的值；第14页（共56页）（3）如图，将抛物线向上平移()个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交抛物线于另一点．为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点恰有个，求的值及相应点的坐标．第15页（共56页）18.直线交轴于点，交轴于点，顶点为的抛物线经过点，交轴于另一点，连接，，，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点，，的坐标；（2）动点在上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．交线段于点．①当时，求的值；②过点作，垂足为，过点作交线段或于点，当时，求的值．第16页（共56页）19.如图，在平面直角坐标系中，已知点和点的坐标分别为()，()，将绕点按顺时针方向分别旋转，得到，．抛物线经过点，，，抛物线经过点，，．（1）点的坐标为，点的坐标为，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为；（2）如果点()是直线上方抛物线上的一个动点．①若时，求点的坐标；第17页（共56页）②如图，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记√，求与的函数关系式，当时，求的取值范围．第18页（共56页）答案第一部分1.（1）解法一：抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为()()．抛物线经过点()，()，{解得{抛物线的解析式为()，即．【解析】解法二：抛物线的对称轴为直线，，两点关于直线对称且()，()．设抛物线的解析式为()()()．抛物线经过点()，，解得．抛物线的解析式为()()，即．解法三：设抛物线的解析式为()．抛物线的对称轴为直线且经过点()，()，{解得{抛物线的解析式为．（2）解法一：第19页（共56页）如图，连接，过点作轴于点，交于点．设直线的解析式为()．直线经过点()，()，{解得{直线的解析式为．为第一象限内抛物线上一点，设点坐标为()()，则点坐标为()．∣∣∣∣∣∣()()．当时，最大．【解析】解法二：①当点位于点下方时，如图，过点作轴于．第20页（共56页）为第一象限内抛物线上一点，设点坐标为()，则点坐标为()，，．()，四边形()()，四边形()当时，最大；②当点位于点上方时，过作于．同①可设()，则()．，．四边形()()()()当时，最大．综上可知，的最大值为．（3）存在点，使为等腰三角形且为直角三角形．第21页（共56页）理由如下：分以下两种情况：（ⅰ）解法一：如图所示：当时，，只能．由（）的解法一得：直线的解析式为．设点坐标为()()，则点坐标为()，，，．在中，√√√．，．，即√．√√．√(√√)√．，第22页（共56页）√，√√．(√)．（ⅱ）解法一：如图所示：当时，，只能．过点作轴于点，设()()，则，，．由（ⅰ）得：√√，√．，，．，即√√．(√√)√√．，√，√√√．．第23页（共56页）()．轴于点，，，，．又，．，即．．．()．【解析】（ⅰ）解法二：由（）的解法一得：直线的解析式为．设()()，则，，．在中，√√．在中，√√()()√∣∣√()√√√(√√)√．，√，√√．(√)．解法三：如图所示：当时，第24页（共56页），只能．由（）的解法一得：直线的解析式为．设点坐标为()()，过点作轴于点，则点坐标为()，，()，．在中，√√．√．，，即√．√．(√)．（ⅱ）解法二：如图所示：当时，第25页（共56页），只能．设点坐标为()()．在和中，，又，由（ⅰ）知√√，√．√√√．√√√．．()．此时，√√√，√．√√．．第26页（共56页）()．综上所述，满足条件的点的坐标为(√)或()．2.（1），当时，．()．当时，，()．抛物线过点()，()，{解得{抛物线的解析式为．设直线的解析式为，由题意，得{解得{直线的解析式为．（2）存在．由（）知()，设()．轴，，即点与点对应，可分两种情况讨论：如图，第27页（共56页）当时，．，解得，（舍）．()；如图，当时，．，解得√，√（舍）．(√√)．符合条件的点的坐标为()或(√√)．（3）存在．设()，()．如图，第28页（共56页）四边形是平行四边形，．．，解得，．当时，()；当时，()．存在点()或()，使四边形为平行四边形．3.（1）设抛物线的表达式为()，把()代入，得()，解得．抛物线的表达式为()．（2）存在．作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，此时的值最小．()，抛物线对称轴为直线，()．易得直线的解析式为．当时，．()．（3）()，()，易得直线的解析式为．第29页（共56页）过点作轴于点，交于点，设()，则()()．()()．，．，．．√．√()√．√，当时，有最大值．过点作轴于点，，，．．．．()．当时，()．4.（1）由题意，得(√)，(√)，()，设抛物线的解析式为(√)(√)，把()代入得到，第30页（共56页）抛物线的解析式为√．（2）在中，√，．平分，．．()．直线的解析式为√．由题意