3-第3讲-函数的奇偶性及周期性

数学第三章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性及周期性第三章函数概念与基本初等函数1返回导航下一页上一页01走进教材自主回顾02考点探究题型突破03知能提升分层演练第三章函数概念与基本初等函数2返回导航下一页上一页最新考纲考向预测1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.命题趋势以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.核心素养数学抽象、逻辑推理第三章函数概念与基本初等函数3返回导航下一页上一页1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_________对称f(－x)＝f(x)y轴第三章函数概念与基本初等函数4返回导航下一页上一页奇偶性定义图象特点奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_______对称f(－x)＝－f(x)原点第三章函数概念与基本初等函数5返回导航下一页上一页2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个_______正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小第三章函数概念与基本初等函数6返回导航下一页上一页常用结论1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．第三章函数概念与基本初等函数7返回导航下一页上一页2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0)．第三章函数概念与基本初等函数8返回导航下一页上一页常见误区1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.第三章函数概念与基本初等函数9返回导航下一页上一页1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()√×√√√第三章函数概念与基本初等函数10返回导航下一页上一页2．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x√解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.第三章函数概念与基本初等函数11返回导航下一页上一页3．(易错题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是()A．－1B．1C．－3D．0√解析：因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B.第三章函数概念与基本初等函数12返回导航下一页上一页4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：－2第三章函数概念与基本初等函数13返回导航下一页上一页5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝________．解析：f32＝f2－12＝f－12＝－4×－122＋2＝1.答案：1第三章函数概念与基本初等函数14返回导航下一页上一页函数的奇偶性角度一判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]；第三章函数概念与基本初等函数15返回导航下一页上一页(2)f(x)＝ln2－x2＋x；(3)f(x)＝x2－1＋1－x2；(4)f(x)＝x2＋2，x＞0，0，x＝0，－x2－2，x0.【解】(1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．第三章函数概念与基本初等函数16返回导航下一页上一页(2)f(x)的定义域为(－2，2)，f(－x)＝ln2＋x2－x＝－ln2－x2＋x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．第三章函数概念与基本初等函数17返回导航下一页上一页(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．第三章函数概念与基本初等函数18返回导航下一页上一页函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(x2＋1－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．第三章函数概念与基本初等函数19返回导航下一页上一页角度二函数奇偶性的应用(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1√第三章函数概念与基本初等函数20返回导航下一页上一页(2)(2021·黑龙江哈尔滨师范大学附中月考)已知函数f(x)＝cosπ2＋2x＋xx2＋1－1，若f(a)＝－13，则f(－a)＝()A．13B．23C．－13D．－53√第三章函数概念与基本初等函数21返回导航下一页上一页【解析】(1)通解：依题意得，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.(2)设g(x)＝f(x)＋1＝－sin2x＋xx2＋1，易知g(x)是奇函数，则g(a)＝f(a)＋1＝－13＋1＝23，所以g(－a)＝－g(a)＝－23，即f(－a)＋1＝－23，所以f(－a)＝－53.故选D.第三章函数概念与基本初等函数22返回导航下一页上一页已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．第三章函数概念与基本初等函数23返回导航下一页上一页1．函数f(x)＝x＋2a＋3x2＋8为奇函数，则实数a＝()A．－1B．1C．－32D．32√解析：由题知f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－32，此时f(x)＝xx2＋8为奇函数．第三章函数概念与基本初等函数24返回导航下一页上一页2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()A．y＝x＋f(x)B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x)D．y＝x2f(x)√第三章函数概念与基本初等函数25返回导航下一页上一页解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函数．对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．第三章函数概念与基本初等函数26返回导航下一页上一页3．(多选)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则()A．f(x)＝ex＋e－x2B．g(x)＝ex－e－x2C．f(－2)g(－1)D．g(－1)f(－3)√√第三章函数概念与基本初等函数27返回导航下一页上一页解析：因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex①，所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x②.联立①②f（x）＋2g（x）＝ex，f（x）－2g（x）＝e－x，解得f（x）＝ex＋e－x2，g（x）＝ex－e－x4，所以f(－2)＝e－2＋e22，f(－3)＝e－3＋e32，g(－1)＝e－1－e40，所以g(－1)f(－2)，g(－1)f(－3)，故选AD.第三章函数概念与基本初等函数28返回导航下一页上一页4．(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，函数f(x)的最大值为________．解析：方法一：当x0时，－x0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋122＋14，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14.第三章函数概念与基本初等函数29返回导航下一页上一页方法二：当x0时，f(x)＝x2－x＝x－122－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14.答案：14第三章函数概念与基本初等函数30返回导航下一页上一页函数的周期性(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝x＋a，－1≤x0，|2－x|，0≤x1，其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝()A．0.5B．1.5C．2.5D．3.5√第三章函数概念与基本初等函数31返回导航下一页上一页(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为()A．2B．3C．4D．5√【