金融工程-第四章--股票期权的性质

第10章股票期权的性质金融工程主要内容：1、讨论影响股票期权价格的一些因素。2、通过套利理论探讨欧式期权价格、美式期权价格和标的资产价格之间的关系。3、讨论美式期权是否应该提前执行。22021/6/3股票期权的性质本章结构10.1影响期权价格的因素10.2假设和符号10.3期权价格的上下限10.4看跌期权与看涨期权之间的平价关系10.5提前执行：不付股利股票的看涨期权10.6提前执行：不付股利股票的看跌期权10.7红利的影响32021/6/3股票期权的性质10.1影响期权价格的因素有6种因素影响股票期权的价格：1、当前股票价格，S02、执行价格，K3、期权期限，T4、股票价格的波动率，5、无风险利率，r6、期权期限内预期发放的股息。42021/6/3股票期权的性质Table10.1一个变量增加而其他变量保持不变时对于股票期权价格的影响(page153)5++–+++++–欧式看涨期权价格c欧式看跌期权价格p美式看涨期权价格C美式看跌期权价格PVariable当前股票价格S0执行价格K期限T波动率无风险利率r股息D+??+++––––+–+–++代表变量增加，期权价格增加；–代表变量增加，期权价格减少；？代表变量增加，期权价格变化不定2021/6/3股票期权的性质10.1.1股票价格及执行价格如果看涨期权在将来某一时刻行驶，期权收益为股票价格与执行价格的差额S-K。因此随着股票价格的上升，看涨期权的价格也会增大；而随着执行价格的上升，看涨期权价格将会减小。看跌期权的收益等于执行价格与股票价格的差额K-S。因此，看跌期权的价格走向刚好和看涨期权相反：随着股票价格的上升，看跌期权的价格会减小；而随着执行价格的上升，看跌期权价格将会增大。62021/6/3股票期权的性质7股票价格——欧式期权价格看涨期权看跌期权2021/6/3股票期权的性质8执行价格——欧式期权价格2021/6/3股票期权的性质10.1.2期权期限当期限增加时，美式看涨期权和看跌期权的价值都会增加。考虑两个美式看涨期权，这两个期权只是期限不同。期限较短的期权在行驶时，较长期限的期权也可以被行驶。因此，长期限期权的价格大于或等于短期限期权的价格（执行机会和获利机会）。注意：随着期限的增加，欧式看跌期权和看涨期权的价值会增加，但并不总是这样。例如：有基于同一股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为1个月；另一个到期期限为2个月，假定预计在6周后支付大量的红利，红利会使股票价格下降。这就有可能使有短期限期权价格超过长期限期权价格。92021/6/3股票期权的性质10到期期限——欧式期权价格2021/6/3股票期权的性质10.1.3波动率股票价格的波动率（volatility）衡量未来股票价格变动的不定性的一个测度。当波动率增大时，股票价格上升很多或下降很多的机会将会增大。对于股票持有者而言，这两个变动常常会相互抵消。但对于期权的持有者而言，情况会有所不同。看涨期权的持有者从股价上升中获利，但当股价下跌时，期权持有者的最大损失就是期权费，这个损失是有限的。与此类似，看跌期权持有者可以从股价下跌中获利，损失也是有限的。因此，随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。112021/6/3股票期权的性质12波动率——欧式期权价格2021/6/3股票期权的性质1310.1.4无风险利率当整个经济中的利率增加时，投资者所要求的股票预期收益也会增加，期权持有者收到的未来现金流的贴现值将降低。这两种效应的合成效应是：看涨期权的价值增加，看跌期权的价值减少。无风险利率的变化对期权价格的变化可用下图表示：2021/6/3股票期权的性质注意：在讨论无风险利率时，我们假定了利率变化时，股票的价格保持不变。但现实中，当利率上升（或下降）时，股票价格也将下降（或上升）。考虑利率变化和随之而来的股价降低的净效应，看涨期权的价值可能减少而看跌期权的价值可能增加，反之亦然。以上各图描述了当S0=50，K=50，r=5%,T=1年，σ=20%，不支付红利的情况下，欧式看涨期权与看跌期权价格与前5种因素之间的关系，在这种情况下，看涨期权的价格为7.116，看跌期权的价格为4.667。142021/6/3股票期权的性质10.1.5将来的股息数量股息将使股票在除息日的价格降低。对于看涨期权来说这是一个坏消息，而对于看跌期权来说则是一个好消息。因此，看涨期权价值与预期股息的大小成反向关系，而看跌期权的价值与预期股息的大小成正向关系。152021/6/3股票期权的性质16以上各小节所揭示的各个因素与期权价格的关系可用表10.1（p153）表示。即：2021/6/3股票期权的性质10.2假设及符号假定市场上存在一些大投资银行这样的参与者，从而使下面的假设成立：1、没有交易费用。2、所有交易盈利（减去交易损失）的税率相同。3、投资者可以按无风险利率借入和贷出资金。同时，我们可以假定市场中不存在套利机会。172021/6/3股票期权的性质符号定义：S0：股票的当前价格；K：期权的执行价格；T：期权的期限；ST：T时刻股票的价格；r：在T时刻到期的无风险投资收益率，即无风险利率（连续复利）；C：买入一股股票的美式看涨期权的价格；P：出售一股股票的美式看跌期权的价格；c：买入一股股票的欧式看涨期权的价格；p：出售一股股票的欧式看跌期权的价格；182021/6/3股票期权的性质10.3期权价格的上限与下限10.3.1期权价格的上限【1】美式看涨期权或欧式看涨期权的持有者，有权以某一确定的价格购买一股股票。在任何情况下，期权的价值都不会超过股票的价值。因此，股票价格是期权价格的上限：套利机会出现在上等式不成立的时候，此时套利者可以购买股票并卖出看涨期权来获取无风险盈利。00cSS和C192021/6/3股票期权的性质【2】美式看跌期权或欧式看跌期权的持有者，有权以K的价格卖出一股股票。无论股票价格变得多么低，期权的价值都不会超过K。因此，【3】对于欧式期权来说，在T时刻，期权的价值不会超过K，因此，当前期权的价值不会超过K的现值：套利机会出现在上式不成立时，此时套利者可以出售期权并将所得收入以无风险利率进行投资，获得无风险收益。pKPK和rTpKe202021/6/3股票期权的性质10.3.2无股息股票的看涨期权的下限00.10$20,$18,10%,120183.71rTSKrTSKee。则21不付股利的欧式看涨期权的下限：例：假定考虑欧式看涨期权的价格等于c=$3,即小于理论上的最小值$3.71。套利者可以卖空股票并买入看涨期权。则现金流为$20-$3=$17。如果$17以无风险利率10%投资1年，则一年后变为$18.79。在这一年的年末，期权到期：0rTSKe2021/6/3股票期权的性质（1）如果股票价格高于$18，套利者以$18的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利$18.79-$18=$0.79。（2）如果股票价格低于$18，则套利者不执行期权，并从市场上买入股票将股票空头平仓，这时，套利者盈利更多。例如，如果股票价格为$17，则套利者的盈利为$18.79-$17=$1.79222021/6/3股票期权的性质23正式证明：组合A：一个欧式看涨期权加上金额为Ke-rT的现金（c+Ke-rT）组合B：一股股票（S0）在组合A中，现金如果按无风险利率投资，则在T时刻变为K。如果ST＞K，在T时刻应执行看涨期权，则在组合A中的价值ST-K+K=ST。如果ST＜K，在T时刻不执行看涨期权，则在组合A中的价值为K。所以，在T时刻，组合A的价值为max（ST,K）在T时刻，组合B的价值为ST。因此，在T时刻，组合A的价值通常不低于组合B的价值，即V(A)≥V(B)。根据无套利原理，c+Ke-rT≥S0(当前时刻)即c≥S0-Ke-rT对于一个看涨期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期时价值为零，这意味着期权的价值必须为正值，即c≥0，因此有c≥max(S0-Ke-rT,0)2021/6/3股票期权的性质10.3.3无股息股票的欧式看跌期权下限不付股利的欧式看跌期权的下限：Ke-rT-S0例：假定考虑欧式看跌期权的价格p等于$1,即小于理论上的最小值$2.01。套利者可以借入$(37+1)=38，期限6个月，同时用所借资金购买看跌期权和股票。在6个月末，套利者将支付38e0.05×0.5=$38.96。2400.050.50$37,$40,5%,0.540372.01rTSKrTKeSe。则2021/6/3股票期权的性质10.3.3不付股利的欧式看跌期权的下限（1）如果股票价格低于$40，套利者执行期权以$40的价格卖出股票，归还所借款项本金和利息，则可获利$40-$38.96=$1.04。（2）如果股票价格高于$40，则套利者不执行期权，在市场中卖出股票并归还所借款项本金和利息，这时，套利者可获得更高的利润。例如，如果股票价格为$42，则套利者的盈利为$42-$38.96=$3.04。252021/6/3股票期权的性质26组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票（p+S0）组合D：金额为Ke-rT的现金（Ke-rT）【1】在组合C中：如果ST＜K，在T时刻应执行看跌期权，则在组合C中的价值为K–ST+ST=K。如果ST＞K，在T时刻看跌期权的价值为零，则在组合C中的价值为持有股票的价值ST。所以，在T时刻，组合C的价值为max（ST,K）【2】在组合D中：现金如果按无风险利率投资，则在T时刻的价值变为现金K。因此，在T时刻，组合C的价值通常不低于T时刻组合D的价值，即V(C)≥V(D)。*根据无套利原理，有p+S0≥Ke-rT(当前时刻),即p≥Ke-rT-S0。【3】由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期时价值为零，这意味着期权的价值必须为正值，因此有正式证明：p≥max(Ke-rT-S0,0)2021/6/3股票期权的性质2710.4看跌--看涨平价关系我们考虑如下两个组合：组合A：一个欧式看涨期权加上金额为Ke-rT的现金（c+Ke-rT）组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票（p+S0）在期权到期时，两个组合的价值均为：max（ST,K）由于是欧式期权，所以有如下等式成立。c+Ke-rT=p+S0-------------（10.6）这就是欧式看涨期权价格和看跌期权价格之间的平价关系（put-callparity）。它表明具有某个执行价格和到期日的欧式看涨期权的价值，可根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。10.4.1基于不支付红利影响的欧式期权2021/6/3股票期权的性质表10-2组合A、C在T时刻的价值28STKSTK组合A看涨期权ST−K0零息债券KK总和STK组合C看跌期权0K−ST股票STST总和STK2021/6/3股票期权的性质如果等式（10.6）不成立，则存在套利机会。(1)c+Ke-rt＜p+S0假定股票价格S0=$31,执行价格K=$30。无风险年利率r=10%，3个月期的欧式看涨期权价格为c=$3，3个月期的欧式看跌期权的价格p=$2.25。组合A：c+Ke-rt=$3+$30e-0.1x3/12=$32.26组合C：p+S0=$2.25+$31=$33.25相对于组合A来说，组合C被高估了。正确的套利策略是买入组合A中的证券并卖空组合C中的证券。这一策略将会产生如下正的现金流：-$3+$2.25+$31=$30.25将这笔现金流按无风险利率进行投资时，在3个月后，这个现金流增加为：$30.25e0.1x0.25=$31.02如果在期权到期日股票的价格高于$30，将执行看涨期权。如果股价低于$30，看跌期权的空头将被执行。在任何一种情况下，投资者均按$30购买一股股票。该股票可用来平仓原空头股票。因此净利为：$31.02-$30.00=$1.02292021/6/3股票期权的性质(2)c+Ke-rt＞p+S0假定股票价格S0=$31,执行价