高考数学离散型随机变量的期望与方差题型归纳

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量的概率分布为1x2x---nx---P1p2p---np---则称nnpxpxpxE2211为的数学期望（平均值、均值）简称为期望。①期望反映了离散型随机变量的平均水平。②E是一个实数，由的分布列唯一确定。③随机变量是可变的，可取不同值。④E是不变的，它描述取值的平均状态。（2）期望的性质：①CCE)(为常数）C(②baEbaE)(为常数）ba,(③若),(~pnB，则npE（二项分布）2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为,,,,,21nxxx且这些值的概率分别为,,,,,321npppp则称222121)()(pExpExD…nnpEx2)(…；为的方差。①反映随机变量取值的稳定与波动。②反映随机变量取值的集中与离散的程度。③D是一个实数，由的分布列唯一确定。④D越小，取值越集中，D越大，取值越分散。⑤D的算术平均数D叫做随机变量的标准差，记作。注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。（2）方差的性质：①0)(CD为常数）C(②DabaD2)(为常数）ba,(③若),(~pnB，则npqDpq1其中（二项分布）⑤22)(EED考点预测根据离散型随机变量的试题背景进行考题类型预测：考点1：产品检验问题【例1】已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求（Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；（Ⅱ）取得正品元件个数的数学期望.【例2】某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（I）求第一天通过检查的概率；（II）求前两天全部通过检查的概率；（III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.考点2：比赛问题【例3】A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为32，设各场比赛的胜负相互独立.（1）求A队夺冠的概率；（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求Eξ.【例4】两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为.（Ⅰ）求的概率分布；（Ⅱ）求E.考点3：射击，投篮问题【例5】甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是32和43，假设两人射击是否击中标，相互之间没有影响.每人各次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（1）甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；1.3.5（3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？【例6】甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为41，乙每次投中的概率为.31求：（1）乙投篮次数不超过1次的概率；（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.考点4：选题，选课，做题，考试问题【例7】甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求：（1）求该题被乙独立解出的概率。（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。【例8】某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.（Ⅰ）记“函数xxxf2)(为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望.考点5：试验，游戏，竞赛，研究性问题【例9】某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为51，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.（I）求ξ的所有可能取值；（II）求ξ的分布列；（III）求ξ的期望Eξ.考点5：试验，游戏，竞赛，研究性问题【例9】某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为51，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.（I）求ξ的所有可能取值；（II）求ξ的分布列；（III）求ξ的期望Eξ.【例10】某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.点6：旅游，交通问题【例11】春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为31，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：（Ⅰ）随机变量的分布列；（Ⅱ）随机变量的期望.【例12】旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.（3）求选择甲线路旅游团数的期望.考点7：摸球问题【例13】甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2…、n（n≥2）的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率为.121（1）求n的值；（2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为，求的数学期望E.【例14】一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.考点8：摸卡片，数字问题【例15】在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.（I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；（II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由例16】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；1,3,5