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1一、贝叶斯准则:例题1:设二元假设检验的观测信号模型为:H0:x=-1+nH1:x=1+n其中n是均值为0,方差为212n的高斯观测噪声。若两种假设是等先验概率的,而代价因子为000110111,8,4,2,cccc试求贝叶斯(最佳)表达式和平均代价C:解:因为两种假设是等先验概率的所以011()()2PHPH,这样,贝叶斯准备的似然比函数()x为:①122110221(1)exp1122(|)22()exp(4)(|)(1)1exp112222xpxHxxpxHx而似然比检测门限为:01000101111(41)()()21()()(82)2PHccPHcc=1/2于是贝叶斯判决表达式为101exp(4)2HxH,两边取自然对数,并整理的最简判决表达式为100.1733HxH②现在计算判决概率01(|)PHH和00(|)PHH,由于本例中检验统计量()lxx,所以在两个假设下检验统计量的概率密度函数分别为:2122012211(1)(|)exp1122221(1)(|)exp112222lplHlplH这样,0.17330111220.1733(|)(|)1(1)exp0.0486112222PHHplHdlldl0.17330001220.1733(|)(|)1(1)exp0.8790112222PHHplHdlldl最后,利用贝叶斯平均代价表达式,01011110111010100000()()()()(|)()()(|)CPHcPHcPHccPHHPHccPHH代入0000110(),(|),(|),PHPHHPHHc等各数据,计算得:1.8269C总结:如果我们把判决表达式中的检测门限-0.1733稍作调整,例如调整为-0.1700极品-0.1800,则计算出的平均代价均大于检测门限为-0.1733的平均代价,这一结果从侧面验证了贝叶斯准则的确能使平均代价最小。3例题2:在二元数字通信系统中,假设为H1时,信源输出为常值电压A,假设为H0时,信源输出为0电平;信号在通信信道中传输过程中叠加了高斯噪声n(t);每种信号的持续时间为(0,T);在接收端对接收到信号x(t)在(0,T)时间内进行了N次独立采样,样本为(1,2,...)kxkN,已知噪声样本kn是均值为0,方差为2n的高斯噪声。试求(1)建立信号检测系统的信号模型;(2)若似然函数比检测门限已知,确定似然比检验的判决表达式;(3)计算判决概率1011(|)(|)PHHPHH和解:①在两个假设下,接收信号分别为10HtTHtT:x(t)=n(t)0:x(t)=A+n(t)0A≥0经(0,T)时间内N次独立采样后,获得101,2,...1,2,...kkkkHnkNHnkN:x=:x=A+A≥0,2~(0,)knnN②求判决表达式:因为噪声样本2~(0,)knnN,所以其概率密度函数pdf为:122221()exp22kknnnpn在两个假设下,观测信号样本kx的概率密度函数,即通常所说的似然函数分别为:1220221221221(|)exp221()(|)exp22kknnkknnxpxHxApxH考虑到N次采样时候,两个假设的观测信号样本(1,2,...)kxkN之间是各自独立同分布,所以两个假设下N维观测矢量的pdf分别为22002211221122111(|)(|)exp221()(|)(|)exp22NNNkkkknnNNNkkkknnxpxHpxHxApxHpxH4似然比函数()x为:221222110(|)()exp()(|)22NNkkkknnnpxHAxNAxxpxH于是似然比检验为:122210exp()2NkkknnHAxxH两边取自然对数并整理得:12101()ln2NnkkHAlxxNNAH③因为检验统计量11()NkklxxN在假设H0下,样本(1,2,...)kkxnkN,且2~(0,)knnN,各样本之间相互统计独立,所以样本2~(0,)knxN且样板之间也相互统计独立,所以,211()~(0,)NnkklxxNNN于是,对于假设H0和H1情况下,其pdf分别为:12202211221221(|)exp22()(|)exp22NknnNknnNxpxHNxApxH则概率分别为1221022112211221(|)exp22ln2()(|)exp22ln2NknnNknnNxPHHdxdQdNxAPHHdxdQd其中,22nNAd,如何求0001(|)(|)PHHPHH和??,取值(—∞,)
本文标题:贝叶斯准则例题
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