专升本高等数学课件-第四章

第四章多元函数微分学（一）多元函数的概念1.【二元函数的定义】设D是R2的上的一个非空子集，称映射f:D→R为定义在D上的二元函数，通常记为：DPPfzDyxyxfz),(),(),,(或.,,为因变量为自变量与为定义域其中zyxD当2n时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数．2.【多元函数】【例1】求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf【解】013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD【注】二元函数定义域的画法（重点）三、小结思考题一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数（二）偏导数一、偏导数的定义及其计算法),(),(0000yxfyxxf，若xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称(1)【定义】设),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，1.【二元函数在一点处的偏导数的定义】00yyxxxz，),(00yxfx，),(00yxfx，00yyxxxz或00yyxxxf.当固定y0y，而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量之为),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为)()(lim0ff),(00yxfx【注意】0,y0,yxx00xxx同样可定义对y的偏导数0lim),(00yxfy若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,),(,),(2yxfyxfy),(0xf),(0xfy记为yy00y或y偏导数存在,,,,yzyfyzy偏导数的概念可以推广到二元以上函数(2)【多元函数的偏导数】[例如]三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的xxxx偏导数定义为x?),,(zyxfy?),,(zyxfz(请自己写出)【例1】求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．【解】xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.722132.【偏导数的计算】与一元函数的求导法则完全相同【例2】设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.【证】xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．【证完】偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;3.【有关偏导数的几点说明】(1)的方法：求),(00yxxz，再代值；先求出偏导函数xz(2)①②),(0dd00xxxzyxfzy，再求得先代入③).1,(,arcsin)1(),(xfyxyxfxyx求如：设求分界点、不连续点处的偏导数).0,0(),0,0(,),(yxffxyyxfz求设［解］xfxfxxf)0,0()0,0(0lim)0,0(0).0,0(yf［例如］先求后代先代后求用定义求xxx0|0|0lim二、高阶偏导数),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数按变量的不同分为以下两类：①［二阶纯偏导数］②［二阶混合偏导数］1.【高阶偏导数的定义】,),(2yxfyxzxzyxy(1)若),(yxfz的一阶偏导数),(yxfxzx，),(yxfyzy的偏导数仍存在，则称它们是函数),(yxfz的二阶偏导数。【定义式】)()(lim),(0xxxxffyxfy,y,xxxxxyyxfyyxfyxfxxyxy),(),(lim),(0其余类推(2)同样可得：三阶、四阶、…、以及n阶偏导数。(3)［定义］二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。【例6】设13323xyxyyxz，求二阶偏导数及33xz.【解】xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx(1)【问题】混合偏导数都相等吗？2.【混合偏导数相等的条件】.)0,0(),()0,0(),(0)0,0(),(),(223的二阶混合偏导数在点求设yxfyxyxyxfyxyx【补例】【提示】答:不一定相等),(yxfx)0,0(),(0)0,0(),(2224222)(23yxyxyxyxyxyx，，)0,0(),(0)0,0(),(),(22223223)(2yxyxyxfyxyxyxxy，，)()(lim)0,0(0xxyxfff,0,0,0y00yy)()(lim)0,0(0yyxyfff0,0,x00xx.1).0,0()0,0(yxxyff显然[注意]分段函数在分界点的偏导数要用定义求得.【定理】若),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2[说明](1)该定理条件是充分条件,不必要.(2)因为初等函数的偏导数一般仍为初等函数,而初等函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.(2)【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？即如何使混合偏导数与求导次序无关?在区域D内连续，则在D内这两个二阶混合偏导数必相等.偏导数的定义：偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）三、小结可偏导与连续的关系：可偏导连续三、小结思考题一、全微分的定义二、可微的条件（三）全微分一、全微分的定义),(),(yxfyxxfxyxfx),(),(),(yxfyyxfyyxfy),(由一元函数微分学中增量与微分的关系得设),(yxfz,在点P),(yx的某邻域)(PU内有定义，并设2.【全增量的概念】1.【偏增量与偏微分】二元函数对x和对y的偏增量二元函数对x和对y的偏微分)(),(PUyyxxP，则称)()(PfPf),(),(yxfyyxxf为函数在点P对应于自变量增量yx,的全增量，记为),(),(yxfyyxxfz0)()(00)1(22yxyx若函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可3.【全微分定义】【定义】)0(0)(yBxAz可微分简写为【注】以表示为)(oyBxAz,其中BA,不依赖于yx,而仅与yx,有关,22)()(yx,则称函数),(yxfz在点),(yx可微分,yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分,记为zd,即zd=yBxA.(2)函数若在区域D内各点处处可微分,则称函数在D内可微分.二、可微的条件(1)【定理1】若),(yxfz在点),(yx可微分，则1.【必要条件】【证】①事实上,因f(x,y)可微,故由可微定义得),(oyBxAz,0lim0z),(limyyxxfyx00]),([limzyxf0),(yxf故函数),(yxfz在点),(yx处连续.①),(yxf在点),(yx处必连续;②),(yxf在点),(yx处可偏导，且有yzxzBA,，即),(yxfz在点),(yx的全微分为yxzyzxzd．,),(),(故zyxfyyxxf若),(yxfz在点),(yxP可微分,则对),(yyxxPU(P),)(oyBxAz总成立,当0y时，上式仍成立，此时||x,),(),(yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim0,xz同理可得.yzB②由此可见：可微连续；可微可偏导故yyzxxzzd①一元函数：在某点可导可微．⑵可导与可微的关系:②多元函数：各偏导数存在全微分存在．【举例说明】])0,0()0,0([yfxfzyx则,)()(22yxyx),(0,00,222222yxyxyxxyyxf在点(0,0)处有如果考虑点),(yxP沿着直线xy趋近于)0,0(，则)()(22yxyx22)()(xxxx21)0,0(xf0)0,0(yfxfxfx)0,0()0,(lim0)0(021[总结]可微分可偏导【结论】偏导数存在全微分存在。),(])0,0()0,0([oyfxfzyx则故函数),(yxf在点)0,0(处不可微.可见,函数偏导数存在弱于函数可微,但若再假定各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。【警惕】若仅知偏导数存在,虽能从形式上写出yyzxxz即各偏微分之和存在，但它不一定是函数的全微分.)0(故偏导数存在是可微的必要条件而非充分条件。【定理2】（充分条件）如果函数),(yxfz的偏导数xz、2.【充分条件】[证]（略）yz在点),(yx连续，则函数),(yxf在点),(yx可微分．(1)习惯上自变量的增量用微分表示：.dddyyzxxzz(3)推广：三元及以上多元函数的可微性,如u=f(x,y,z)(2)全微分符合叠加原理．即：全微分＝各偏微分之和【注】ud记作zzudxxuduzd称为偏微分uuuuzyxdddd于是【例1】计算函数xyze在点)1,2(处的全微分.【解】,exyyxz,exyxyz,e2)1,2(xz,e22)1,2(yz.de2ded22yxz所求全微分3.【充要条件】（即是定义）0]),(),([lim),(0yyxfxyxfzyxfyx可微【注意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需0]),(),([lim00000yyxfxyxfzyx验证此时该部分不能写成dz,因还不知道是否可微.【例2】求函数)2cos(yxyz，当4πx，πy，【解】),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzyyzxxzzdddππππππ),4(),4(),4().π74(π824πdx，πdy时的全微分.【例3】计算函数yzyxue2sin的全微分.【解】,1xu,e2cos21yzzyyu,eyzyzu故所求全微分为.ded)e2cos21(ddzyyzyxuyzyz【补充例4】试证函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf[注]此例是偏导数存在、函数也可微,但其偏导数不连续的反例.(1)在点)0,0(连续且偏导数存在;(2)在点)0,0(可微.(3)偏导数在点)0,0(不连续.证明:(略)——自己验证[结论]偏导数连续函数可微定理2例4偏导数连续可微连续偏导数存在极限存在多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系图１．多元函数全微分的概念；２．多元函数全微分的求法；３．多元函数极限、连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有