模糊集的基本概念

§1.2模糊子集及其运算模糊子集与隶属函数设U是论域，称映射μA：U→[0,1]x→μA(x)确定了一个U上的模糊子集A，μA称为模糊集A的隶属函数（membershipfunction），μA(x)表示x对A的隶属程度（gradeofmembership）。常记μA=A。使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性。当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A就是它的特征函数。可见经典子集就是模糊子集的特殊情形。U上全体fuzzy集所构成的集合记为F(U)。注1：UFUP例1设论域，Zadeh给出“年轻”（Y）与“年老”（O）两个模糊集的隶属函数分别为]100,0[U10025,5251250,1)(12xxxxY10050,5501500,0)(12xxxxOfuzzy集的表示方法1、序偶表示法UxxAx)(,A2、单独由隶属函数表示fuzzy集3、Zadeh表示法若U是有限集，则（级数表示法）。nxxxU,,,21nnniiixxAxxAxxAxxAA)()()()(221114、向量表示法5、图示法若U是无限集，则（积分表示法）。UxxAA)(注1：级数表示法中，隶属度为0的项可以略去不写。ix0若U是有限集，则nxxxU,,,21)(,),(),(21nxAxAxAA例2设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为140190140)(xxA100200100)(xxA也可用Zadeh表示法65432118.06.04.02.00Axxxxxx6543219.08.07.06.05.04.0Axxxxxx设UFA,记1)(,ker0)(,supuAUuuAuAUuupA分别称suppA、kerA为A的支集（support）与核（kernel）。当kerA不空时，称A为正规fuzzy集（normalfuzzyset）。模糊集的运算相等：A=BA(x)=B(x)；包含：ABA(x)≤B(x)；并：A∪B的隶属函数为(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隶属函数为(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).例3设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”。Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见AcB,BcA。又A∪Ac=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,A∩Ac=(0.2,0.45,0,0.3,0).模糊集的并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪=A，A∩=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc.对偶律的证明：对于任意的xU(论域)，(A∪B)c(x)=1-(A∪B)(x)=1-(A(x)∨B(x))=(1-A(x))∧(1-B(x))=Ac(x)∧Bc(x)=Ac∩Bc(x)模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即A∪AcU，A∩Ac.模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征。定义1与的隶属函数分别为iniA1iniA1)()(11xAxAiniini)()(11xAxAiniini定义2与的隶属函数分别为tTtAtTtA)()(xAxAtTttTt)()(xAxAtTttTt注2：对隶属度进行取大和取小运算，这样可能丢掉许多信息。fuzzy集的其他运算定义3映射，如果满足条件1,01,01,0:T1,0d,c,b,a);a,b(T)b,a(T)1(;)c,b(T,aTc),b,a(TT)2();d,c(T)b,a(Tdb,ca)3(.a)a,1(T)4(则称T为t-模（t-norm）。T(a,b)也可写成aTb。定义4映射，如果满足条件1,01,01,0:S1,0d,c,b,a);a,b(S)b,a(S)1(;)c,b(S,aSc),b,a(SS)2();d,c(S)b,a(Sdb,ca)3(.a)0,a(S)4(则称S为s-模（s-norm）。S(a,b)也可写成aSb。代数和与代数积),()()()()(xBxAxBxAxBA).()()(xBxAxBA注3：当，则且。)(,UPBABABABABA注4：交换律、结合律、0-1律、对偶律。有界和与有界积⊙,1)()()(xBxAxBAA(.01)()())(xBxAxB注5：当，则且。)(,UPBABABAA⊙BAB注6：交换律、结合律、0-1律、对偶律、排中律。定理1运算的相互关系⊙ABBABABA)(,UFBABABA§1.3模糊集的基本定理(A)=A={x|A(x)≥}-截集（cutset）模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成。例1论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}。定理1设A,BF(U)(A,B是论域U的两个模糊子集)，,[0,1]，于是有-截集的性质(1)ABAB；(2)≤AA；(3)(A∪B)=A∪B，(A∩B)=A∩B.,)4(ttttAA.ttttAA(5).AA证：ttAx0,0tAxt)(,00xAtt)(xAtt)(xAttttAx证：ttAxtAxt,)(,xAtt)(xAtt)(xAttttAx定义1设定义其隶属函数为),(,1,0UFA),(UFAUxxAxA),()(称为与的数积（scalarproduct）。AA注1：当为经典集时，仍然是fuzzy集。AAAxAxxxAA,0,)()(定理2设),(,UFBA则有（1）若,1,0,21则AA2121（2）.,1,0BABA定理3(分解定理)设AF(U)，则AA1,0证：))(())(()))(((1,01,01,0xxAxAA)))((()))(((1)()(0xxAxAAxA).()(0xAxAUx设AF(U)，xU，则A(x)=∨{，[0,1]，xA}推论1§1.4fuzzy性的度量定义1对于有限集U上的fuzzy集A，A的基数（cardinality）|A|定义为UxxAA)(称为fuzzy集A的相对基数（relativecardinality）。UAA定义2若映射，1,0)(:UFd满足条件（1）当且仅当（2）当且仅当)(UPA时,;0)(Ad21)(xA时,;1)(Ad,Ux当21)()(xAxB时,);()(AdBd（4）（3）).()(),(cAdAdUFA称映射d为)(UF上的一个fuzzy度（measureoffuzziness），称)(Ad为fuzzy集A的fuzzy度。定理1设,,,,21nxxxU且映射1,0)(:UFd为),(),))((()(1UFAxAfcgAdniiii其中ic为正的实数，1,0a,0:g严格递增且,)5.0(fca,0)0(g,1)a(gn1iii而,01,0:fi);t1(f)t(f,1,0t)1(ii满足;0)0(f)2(i)t(f)3(i在严格递增。5.0,0则是在上的fuzzy度。)A(dA)U(FMinkowskifuzzy度设，且若,有n21x,,x,xU)U(FAp1n1ipi5.0ip1p)x(A)x(An2)A(d其中，0p则为的fuzzy度。)A(dpA特别地，当时，称为的Hammingfuzzy度，即。1pn1ii5.0i1)x(A)x(An2)A(d)A(d1A当时，称为的Euclidfuzzy度，即。2p)A(d2A21n1i2i5.0i2)x(A)x(An2)A(dFuzzy熵设，s(x)为Shannon函数，即n21x,,x,xU1,0x,01,0x),x1ln()x1(xlnx)x(s若，UFAn1ii))x(A(s2lnn1)A(H为的fuzzy度。A则§1.5隶属函数的确定1.模糊统计方法与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”。2.指派方法一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。3.借用已有的“客观”尺度