2016高中数学 第四章 函数应用归纳测试题 北师大版必修1

第四章测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．2．函数y＝x的零点是()A．0B．(0,0)C．(1,0)D．1[答案]A[解析]函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A.3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是()A．(－∞，0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,4)[答案]B[解析]若lgx有意义，∴x0，故A不正确，又当x1时，lgx0，lgx＋x0，C、D不正确，故选B.4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝()A．0B．2C．4D．无法判断[答案]C[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．∴x1＋x2＝4.6．夏季高山温度从山脚起每升高100米，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为()A．1750米B．1730米C．1700米D．1680米[答案]C[解析]设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度，根据题意得y＝26－0.7x，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x＝17(百米)，∴山的相对高度是1700米．7．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[答案]B[解析]∵f(x)＝2x＋3x，∴f(－1)＝－520，f(0)＝10，故选B.8．已知函数f(x)的图像是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：x123456f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.064则函数f(x)存在零点的区间为()A．区间[1,2]和[2,3]B．区间[2,3]和[3,4]C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6][答案]C[解析]由图表可知，f(2)0，f(3)0，f(4)0，f(5)0.故选C.9．若方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m的取值范围是()A．(－5，－4]B．(－∞，－4]C．(－∞，－2)D．(－∞，－5)∪(－5，－4][答案]A[解析]考查函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．由图可知，－m－222f＝m＋50m－2－－m即m－2m－5，m≥4或m≤－4，∴－5m≤－4.故选A.10．某商品零售价2015年比2014年上涨25%，欲控制2016年比2014年只上涨10%，则2016年应比2015年降价()A．15%B．12%C．10%D．50%[答案]B[解析]1＋10%＝(1＋25%)(1－x%)，解得x＝12.11．设二次函数f(x)＝x2－x＋a，若f(－t)0，则f(t＋1)的值()A．是正数B．是负数C．是非负数D．正负与t有关[答案]B[解析]因为f(t＋1)＝(t＋1)2－(t＋1)＋a＝t2＋t＋a，f(－t)＝t2＋t＋a，又∵f(－t)0，所以f(t＋1)为负数．12．(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3}D．{－2－7，1,3}[答案]D[解析]令x0，则－x0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x(x0)，∴f(x)＝x2－3xx－x2－3xx.∴g(x)＝x2－4x＋x－x2－4x＋x.当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.当x0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－7，∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x2－3)(x2－2x－3)的零点为________．[答案]±3，3，－1[解析]令f(x)＝0，得x＝±3，或x＝3，或x＝－1.14．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．[答案]9m2[解析]设框架的一边长为xm，则另一边长为(6－x)m.设框架面积为ym2，则y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9(0x6)，ymax＝9(m2)．15．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为________．[答案]4025[解析]因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2012个零点，又x∈R，所以f(0)＝0，因此共4025个零点．16．(2014·福建高考)函数f(x)＝x2－2，x≤02x－6＋lnx，x0的零点个数是________．[答案]2[解析]当x≤2，令x2－2＝0，得x＝－2；当x0时，令2x－6＋lnx＝0，即lnx＝6－2x，在同一坐标系中，画出函数y＝6－2x与y＝lnx的图像如图所示．由图像可知，当x0时，函数y＝6－2x与y＝lnx的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点．综上可知，函数f(x)有2个零点．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝x3＋1.[解析](1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，可解得x＝－18或x＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－70，所以方程无实数解．所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．(3)因为f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1.所以函数的零点为－1.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋m的零点都在区间(0,2)内，求实数m的范围．[解析]由题意可得Δ≥0，f，f，即1－4m≥0m04－2＋m0，解得0m≤14.所以实数m的取值范围是(0，14]．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lgx，x≥32，－x，x32.若方程f(x)＝k无实数解，求k的取值范围．[解析]当x≥32时，函数f(x)＝lgx是增函数，∴f(x)∈[lg32，＋∞]；当x32时，函数f(x)＝lg(3－x)是减函数，∴f(x)∈(lg32，＋∞)．故f(x)∈[lg32，＋∞)．要使方程无实数解，则klg32.故k的取值范围是(－∞，lg32)．20．(本小题满分12分)某公司从2004年的年产值100万元，增加到10年后2014年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)[解析]设每年年增长率为x，则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5，两边取常用对数，得10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝lg510＝110(lg10－lg2)＝0.710.又∵lg(1＋x)＝＋xln10，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝0.710×ln10＝0.710×2.30＝0.161＝16.1%.又由已知条件：ln(1＋x)≈x得x≈16.1%.故每年的平均增长率约为16.1%.21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．[解析]若实数a满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0.解得，x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．[分析]解答本题可先进行分类讨论，在各种情况下列出函数关系式并求最值，然后比较得到所求解的情况．[解析]如图所示，设计长方形公寓分三种情况：(1)当一顶点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，∴S1＝SBCDB1＝5600m2.(2)当一顶点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，∴S2＝SAA1DE＝6000m2.(3)当一顶点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.设MQ＝x(0≤x≤20)，∴MP＝PQ－MQ＝80－x.又OA＝20，OB＝30，则OAOB＝MQQB，∴23＝xQB，∴QB＝32x，∴MN＝QC＝QB＋BC＝32x＋70，∴S3＝SMNDP＝MN·MP＝(70＋32x)·(80－x)＝－32(x－503)2＋180503，当x＝503时，S3＝180503.比较S1，S2，S3，得S3最大，此时MQ＝503m，BM＝25133m，故当长方形一顶点落在AB边上离B点25133m处时公寓占地面积最大，最大面积为180503m2.