【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 概率单元综合测试 北师大版选修2-3

1【成才之路】2015-2016学年高中数学第二章概率单元综合测试北师大版选修2-3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X～B6，13，则P(X＝2)等于()A.316B.4243C.13243D．80243[答案]D[解析]P(X＝2)＝C261321－134＝80243.2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45[答案]A[解析]∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，从而有np＝1.6np－p＝1.28，解得n＝8，p＝0.2.3．从某地区的儿童中挑选体操运动员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任选一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()A.1320B．15C.14D．25[答案]D[解析]设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝15，P(B)＝14.又A、B相互独立，则A、B也相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＝45×34＝35，2故至少有一项合格的概率为P＝1－P(AB)＝25，选D.4．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B．38C.58D．78[答案]D[解析]四位同学安排有16种方式，周六、周日都有同学参加以有下方式，周六1人，周日3人；周六2人；周六3人，周日1人；所以共有2C14C33＋A22C24C222＝14，由古典概型的概率得P＝1416＝78.计算古典概型的概率，要将基本事件空间和满足条件的基本事件数逐一计算准确．5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机取2只，那么在第一只取为好的前提下，至多1只是坏的概率为()A.112B．1C.8384D．184[答案]B[解析]设事件A表示“抽取第一只为好的”，事件B为“抽取的两只中至多1只是坏的”，P(A)＝A17A19A210＝710，P(AB)＝A17A13＋A17A16A210＝710，∴P(B|A)＝PABPA＝1.6．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其质量(单位：g)分别为：150,152,153,149,148,146,151,150,152,147.由此可估计这车苹果的单个苹果质量的均值是()A．150.2gB．149.8gC．149.4gD．147.8g[答案]B7．某班有48名学生，某次数学成绩经计算得到的平均分为70分，标准差为S.后来发现成绩记录有误，学生甲得80分却识记为50分，学生乙得70分却误记为100分，更正后计算标准差为S1，则S与S1之间的大小关系是()A．S1SB．S1＝SC．SS1D．无法判断3[答案]C8．设随机变量X服从正态分布X～N(2,2)，则D12X的值为()A．1B．2C.12D．4[答案]C[解析]由X～N(2,2)，即D(X)＝2，∴D12X＝14D(X)＝12.9．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是17，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是()A.37B．635C.135D．2235[答案]D[解析]设袋中有白球n个，则从中任取2个球都是白球的概率是C2nC27＝17，解得n＝3，即袋中有4个黑球3个白球．设甲取到白球时取球的次数为X，则甲取到白球有：{X＝1}、{X＝3}、{X＝5}．∴所求的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝37＋47×36×35＋47×36×25×14×33＝2235.10.(2014·浙江理，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则()A．p1p2，E(ξ1)E(ξ2)B．p1p2，E(ξ1)E(ξ2)C．p1p2，E(ξ1)E(ξ2)D．p1p2，E(ξ1)E(ξ2)[答案]C4[解析]p1＝mm＋n＋nm＋n×12＝2m＋nm＋n，p2＝3m2－3m＋2mn＋n2－nm＋nm＋n－，p1－p2＝2m＋nm＋n－3m2－3m＋2mn＋n2m＋nm＋n－＝5mn＋nn－m＋nm＋n－0，故p1p2，E(ξ1)＝0×nm＋n×12＋1×2m＋nm＋n＝2m＋nm＋n，E(ξ2)＝3m2－3m＋2mn＋n2－nm＋nm＋n－，由上面比较可知E(ξ1)E(ξ2)，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．[答案]370[解析]本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．设加工出来的零件为次品为事件A，则A为加工出来的零件为正品．P(A)＝1－P(A)＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370.12．某人乘公交车前往火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分钟)服从正态分布N(50,102)．则他在30～70分钟内赶上火车的概率为________．[答案]0.954[解析]因为X～N(50,102)．即μ＝50，σ＝10，所以P(30X70)＝P(50－2×10X50＋2×10)＝0.954.13.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为________．5[答案]34[解析]小球落入B袋中的概率为P1＝(12×12×12)×2＝14，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝34.14．某种动物从出生起算起，活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.3，现在一个10岁的这种动物，则它活到15岁的概率为________．[答案]13[解析]设事件A“能活到10岁”，事件B为“能活到15岁”，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.3，而所求的概率为P(B|A)由于B⊆A，故A∩B＝B，于是P(B|A)＝PA∩BPA＝PBPA＝0.30.9＝13.15．(2015·广东理，13)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.[答案]13[解析]依题可得E(X)＝np＝30且D(x)＝np(1－p)＝20，解得p＝13.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16.(2015·安徽理，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．[解析](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X)＝200＝A22A25＝110.P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310.P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)6＝1－110－310＝610.故X的分布列为X200300400P110310610EX＝200×110＋300×310＋400×610＝350.17.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和均值．[解析](1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种．X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为：X－2－101P1145142727E(X)＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×277＝－314.18.(2015·陕西理，19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与均值E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．[解析](1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T1、T2分别表示往、返所需时间，T1、T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．P(A)＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.19.一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：摸5个球中彩发放奖品有5个白球1顶帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率．(2)按摸10000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？[解析](1)摸一次能获得20元奖品的概率是P＝C56C512＝1132，(2)如果把取到的白球作为随机变量X，则P(X＝5)＝C56C512＝1132，P(X＝4)＝C46C16C512＝15132，P(X8＝3)＝C36C26C512＝50132，P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝66132，所以博彩者的收入这一随机变量Y(可以为负数)的分布列为：Y－19－10.51P1132151325013266132所以收入的随机变量Y的均值为E(Y)＝(－19)×1132＋(－1)×15132＋0.5×50132＋1×66132≈0.4318.故这个可以赚钱，且摸10000次净收入的期望为4318元．20.(2015·湖北理，20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每