等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版

第二章数列2.4等比数列测试题知识点一：等比数列的概念及等比中项的求解1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b，…，b一定为等比数列；③等比数列{an}中，若公比q＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是()A．0B．1C．2D．32.2＋1与2－1，两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1D.123.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列知识点二:等比数列的通项公式及运算4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－1312是此数列的第________项()A．2B．4C．6D．85．(2014·东营高二检测)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8＝()A．1＋2B．1－2C．3＋22D．3－226．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是()A.52B.1－52C.25D.5－127.若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2001＋a2002＋a2003＋…＋a2010＝2014，则a2011＋a2012＋a2013＋…＋a2020的值为()A．2014×1010B．2014×1011C．2015×1010D．2015×10118．(2015·山西四校联考)等比数列{an}满足an＞0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)29.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.10．等比数列{an}中，a1＝98，an＝13，公比q＝23，则n＝________.11．数列{an}为等比数列，an＞0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝________.知识点三:等比数列通项的简单应用12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．13.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.14.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝827.(1)求数列{an}的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？16．等比数列{an}中，a2＝32，a8＝12，an＞an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2an，求Tn的最大值．知识点四：等比数列的判断与证明17.已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn＝3an(n∈N*)．(1)判断{an}是何种数列，并给出证明；(2)若a8＋a13＝m，求b1·b2·…·b20.18．已知数列{an}满足a1＝78，且an＋1＝12an＋13，n∈N*.(1)求证：an－23是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．19.数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*)．(1)求a3，a4，a5，a6的值；(2)求证：{bn}是等比数列．20．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．【参考答案】1C【解析】①错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；②错误，b＝0时，不是等比数列；③④正确．故答案选C.2C【解析】设两数的等比中项为G，则G2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴G＝±1.3.D【解析】由等比数列的性质得，a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.4B【解析】由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项an＝－432n－1，由－432n－1＝－1312，得n＝4.5C【解析】由题意知a3＝a1＋2a2，从而q2＝1＋2q，∵q＞0，∴q＝1＋2a9＋a10a7＋a8＝q2＝3＋22，故选C.6D【解析】由已知得an＝an＋1＋an＋2，即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，∴q2＋q＝1，解得q＝－1±52.又q0，∴q＝5－12.7A【解析】由条件知lgan＋1－lgan＝lgan＋1an＝1，即an＋1an＝10，所以{an}是公比为10的等比数列．因为(a2001＋…＋a2010)·q10＝a2011＋…＋a2020，所以a2011＋…＋a2020＝2014×1010，选A.8.A【解析】由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝a2n＝22n，从而得an＝2n.法一：log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1)．法二：取n＝1，log2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A.9.14【解析】设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.104.【解析】由an＝a1qn－1，得13＝9823n－1，即23n－1＝827.故n＝4.112n－1【解析】由a1·a5＝16，a4＝8，得a21q4＝16，a1q3＝8，所以q2＝4，又an＞0，故q＝2，a1＝1，an＝2n－1.12192【解析】由条件得，768＝6×q7，解得q＝2.∴a6＝6×25＝192.1350【解析】因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50.144【解析】设等比数列{an}的公比为q，q0，则a8＝a6＋2a4即为a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4=4.15【解】(1)∵2an＝3an＋1，∴an＋1an＝23，数列{an}是公比为23的等比数列，又a2·a5＝827，所以a21235＝233，由于各项均为负，故a1＝－32，an＝－23n－2.(2)设an＝－1681，则－1681＝－23n－2，23n－2＝234，n＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．16【解】(1)由a2＝a1q＝32，a8＝a1q7＝12及an＞an＋1得，q＝12，a1＝64，所以an＝64×12n－1，即an＝12n－7(2)令bn＝log2an＝log212n－7＝7－n，则{bn}为等差数列，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋7－n2＝13n－n22＝－12n－1322＋1698，因为n∈N*，n＝6或7时，Tn取得最大值，最大值为21.17【解】(1)设数列{bn}的公比为q，则q0.∵bn＝3an，∴b1＝3a1，∴bn＝3a1·qn－1＝3an.方程两边取以3为底的对数得an＝log3(3a1·qn－1)＝a1＋(n－1)log3q.∴数列{an}是以log3q为公差的等差数列．(2)∵a1＋a20＝a8＋a13＝m，∴a1＋a2＋…＋a20＝20a1＋a202＝10m.∴b1·b2·…·b20＝3a1·3a2·…·3a20＝3a1＋a2＋…＋a20＝310m.18【解】(1)证明：∵an＋1＝12an＋13，∴an＋1－23＝12an＋13－23＝12an－23.∴an＋1－23an－23＝12.∴an－23为首项为524，公比为12的等比数列．(2)∵an－23＝524×12n－1，∴an＝524×12n－1＋23.19解析：(1)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，∴anan＋1＝a1a2·3n－1＝2·3n，∴a3＝2·32a2＝6，a4＝2·33a3＝9，a5＝2·34a4＝18，a6＝2·35a5＝27.(2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1，∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…，与a2，a4，a6，…，a2n，…，都是公比为3的等比数列．∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1，bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1，∴bn＋1bn＝5·3n5·3n－1＝3.故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列．20解析：依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝123－n.而bnbn－1＝123－n124－n＝12－1＝2.(n≥2)∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.