平面向量的概念及线性运算

Gothedistance1别业岁月悠长，有暗香盈袖。冗长了日与夜，空掷了乐与悲。遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。谨祝诸位：学业有成，前程似锦。编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。目录第五章平面向量...................................................................2第1讲平面向量的概念及线性运算.................................2第2讲平面向量基本定理及坐标表示错误!未定义书签。第3讲平面向量数量积及应用.........错误!未定义书签。第4讲数系的扩充及复数的引入.....错误!未定义书签。Gothedistance2第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算一．知识梳理1．向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．平面向量是自由向量．（2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．（3）单位向量：长度为1个单位的向量．与非零向量a同方向的单位向量为||aa．（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：长度相同且方向相反的向量．（6）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．2．向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba结合律：()()abcabc减法求a与b的相反向量b的和运算()abab数乘求实数||||||aa，当0时，()aa；Gothedistance3与向量a的积的运算a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，0a()aaa；()abab3．两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba．二．要点整合1．辨明两个易误点（1）作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．（2）在共线向量的重要条件中易忽视“0a”，否则可能不存在，也可能有无数个．2．三点共线的等价关系,,APB三点共线(0)(1)APABOPtOAtOB（O为平面内异于,,APB的任意一点，tR）OPxOAyOB（1xy）．三．典例精析1．平面向量的有关概念对向量的概念应注意以下几条（1）向量的两个特征：既有大小又有方向，向量可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示．（2）相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定平行，而平行向量却未必是相等向量．（3）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．【例题1】（1）①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b方向相同或相反；③向量AB与向量CD共线，则,,,ABCD四点共线；④如果,abbc∥∥，那么ac∥．以上命题中正确的个数为（）Gothedistance4.1A.2B.3C.0D（2）（2014河南开封）下列命题中，正确的是（）.A若||||ab，则ab或ab.B若0ab，则0a或0b.C若0ka，则0k或0a.D若,ab都是非零向量，则||||abab【变式1】（1）设0a为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则0||aaa；②若a与0a平行，则0||aaa；③若a与0a平行且||1a，则0aa．上述命题中，假命题的个数是（）.0A.1B.2C.3D（2）给出下列命题：①||||ab，则ab；②若,,,ABCD是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若abc，则ac；④ab的充要条件是||||ab且ab∥．以上命题中正确的是．2．平面向量的线性运算用几个基本向量表示某个向量的技巧（1）观察各个向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．【例题2】（1）（2014课标Ⅰ）设,,DEF分别为ABC的三边,,BCCAAB的中点，则EBFC（）.ABC1.2BAD.CAD1.2DBC（2）（2013四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADOCAO，则（）Gothedistance5.1A.2B.4C.6D（3）（2015福建福州）在ABC中，2,,,ADDCBAaBDbBCc，则下列等式成立的是（）.2Acba.2Bcab31.22Ccab31.22Dcba（4）（2014北京东城）在直角梯形ABCD中，90,30,23ABAB，2BC，点E在线段CD上，若AEADAB，则的取值范围是（）.[0,1]A.[0,3]B1.[0,]2C1.[,2]2D（5）若点O是ABC所在平面内一点，且满足|||2|OBOCOBOCOA，则ABC的形状为．【变式2】（1）（2014福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OAOBOCOD（）.AOM.2BOM.3COM.4DOM（2）在ABC中，已知D是AB边上一点，若12,3ADDBCDCACB，则（）2.3A1.3B1.3C2.3D（3）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点,OE是线段OD中点，AE延长线与CD交于点F，若,ACaBDb，则AF（）11.42Aab21.33Bab11.24Cab12.33Dab（4）P是ABC内一点，1()3APABAC，则ABC面积与ABP面积之比是（）.2A.3B3.2C.6D（5）（2013辽宁五校）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216,||||BCABACABAC，则||AM（）.2A.4B.6C.8DGothedistance6（6）（2014山东烟台）如图，O为线段02013AA外一点，若01232013,,,,,AAAAA中任意相邻两点的距离相等，02013,OAaOAb，用,ab表示0122013OAOAOAOA，其结果为（）.1006()Aab.1007()Bab.2012()Cab.2014()Dab3．平面向量共线定量的应用（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．（2）向量,ab共线是指存在不全为零的实数12,，使120ab成立，若120ab，当且仅当120时成立，否则向量,ab不共线．【例题3】（1）已知非零向量12,ee不共线．（Ⅰ）如果121212,28,3()ABeeBCeeCDee，求证：,,ABD三点共线；（Ⅱ）欲使12kee和12eke共线，试确定实数k的值．（2）（2013山东济南）已知,,ABC是平面内不共线的三点，O是ABC的重心，动点P，满足111(2)322OPOAOBOC，则点P一定为ABC的（）.AAB边中线的中点.BAB边中线的三等分点（非重心）.C重心.DAB边的中点（3）如图，已知G是ABO的重心．（Ⅰ）求GAGBGO；Gothedistance7（Ⅱ）若PO过ABO的重心G，且,,OAaOBbOQnb，求证：113mn．【变式3】（1）（2012四川）设,ab都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是（）.Aab.Bab∥.2Cab.Dab∥且||||ab（2）已知向量,,abc中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于（）.Aa.Bb.Cc.0D（3）已知向量121223,23aeebee，其中12,ee不共线，向量12ce29e．若向量dab与c共线，则实数,的关系为．（4）如图，在ABC中，11,,42OCOAODOBAD与BC相交于点M，设,OAaOBb，试用,ab表示向量OM．四．针对训练.A组基础训练1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但模可以比较大小；③0a（为实数），则必为零；④,为实数，若ab，则a与b共线．其中错误的命题个数是（）Gothedistance8.1A.2B.3C.4D2．（2015福建六校）已知点,,OAB不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22OPOABA，则（）.A点P在线段AB上.B点P在线段AB的反向延长线上.C点P在线段AB的延长线上.D点P不在直线AB上3．如图，已知,,3ABaACbBDDC，用,ab表示AD，则AD（）3.4Aab13.44Bab11.44Cab31.44Dab4．若,,,ABCD是平面内任意四点，给出下列式子：①ABCDBCDA；②ACBDBCAD；③ACBDDCAB．其中正确的是（）.0A.1B.2C.3D5．如图，在ABC中，60,AA的平分线交BC于点D，若4AB，且1()4ADACABR，则AD的长为（）.23A.33B.43C.53D6．已知点O为ABC外接圆的圆心，且0OAOBOC，则ABC的内角A等于（）.30A.60B.90C.120D7．已知O为平行四边形ABCD所在平面内一点，且向量,,,OAOBOCOD满足等式OAOCOBOD，则四边形ABCD的形状为．8．在ABCD中，,,3,ABaADbANNCM为BC中点，则MN（用,ab表示）．Gothedistance99．（2013江苏）设,DE分别是ABC的边,ABBC上的点，12ADAB，23BEBC，若12DEABAC（12,为实数），则12的值为．10．在ABC中，已知D是AB边上一点，若12,3ADDBCDCACB，则．11．在ABC中，,DE分别是,BCAC边上的中点，G为BE上一点，且2GBGE，设,ABaACb，试用,ab表示,ADAG．12．设两个非零向量1e和2e不共线．（Ⅰ）如果121212,32,82ABeeBCeeCDee，求证：,,ACD三点共线；（Ⅱ）如果121212,23,2ABeeBCeeCDeke，且,,ACD三点共线，求k的值．.B组能力提升1．设O在ABC的内部，D为AB中点，且20OAOBOC，则ABC的面积与AOC的面积之比为（）.3A.4B.5C.6D2．已知ABC和点M满足0MAMBMC，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m等于（）.2A.3B.4C.5D3．O是平面上一定点，,,ABC是平面上不共线的三点，动点P满足：OPOA,[0,)||||ABACABAC，则P的轨迹一定通过ABC的（）.A外心.B内心.C重心.D垂心Gothedistance104．（2013河北保定）如图，已知点G是ABC的重心，过G作直线与,ABAC两边分别交于,MN两点，且,AMxABANyAC，则xyxy的值为（）.3A1.3B.2C1.2D5．已知||1,||3,0OAOBOAOB，点C在AOB内，且30AOC，(,)OCmOAnOBmnR，则mn．6．如图，在ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线,ABAC于不同的两点,MN，若,ABmAMACnAN，则mn．7．如图，在ABC中，M是BC中点，点N在边AC上，且2,ANNCAM与BN相交于点P，则:APPM．8．已知,,OAB是不共线的三点，且(,)OPmOAnOBmnR．（Ⅰ）若1mn，求证：,,APB三点共线；（Ⅱ）若,,APB三点共线，