初三数学二次函数解答题精选(人教版)

初三数学二次函数解答题精选（人教版）1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到()元时，客房日租金的总收入最高；比装修前的日租金总收入增加()元．答案：解：由题意得：设每间客房的日租金提高到x时，总收入最高．则总收入P=x（120-6×）=x2+180x；故当x==75时，总收入取得最大值．则提价后租出的客房数为120-6×=90，比装修前的日租金总收入增加90×75-120×50=750元．解析：设每间客房的日租金提高到x时，总收入最高，按等量关系“日租金的总收入=每间客房的日租金×（120-6）”列出二次函数关系式并求解最值．2、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示)，其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．(2)求支柱MN的长度．(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由．答案：分析：（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度．（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．解答：解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（-10，0）、（10，0）、（0，6）．将B、C的坐标代入y=ax2+c，得解得．所以抛物线的表达式是；（2）可设N（5，yN），于是．从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米；（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0），（7=2÷2+2×3）．过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=-×72+6=3+＞3．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．3、如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在X轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为()，如果△AEF是等腰三角形时．将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积()．答案：解：过B作BM⊥x轴于M；Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=；∴BC=OA-AM=4-=，CD=BC-BD=；连接OD；如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°，∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF，∴，即：，∴y与x的解析式为：，当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），B在A′F上（A′F⊥EF）∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；∵，∴，，∴，∴；（也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD），②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，∴四边形DEAB是平行四边形∴AE=DB=∴，③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，∴AE=AF=OA-OE=，过F作FH⊥AE于H，则，∴，综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或．故答案为：，或1或．解析：首先过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，再连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．3、如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？答案：分析：先设抛物线的解析式，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解．解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），由CD=10m，可设D（5，b），由AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b-3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得：，解得．∴y=；（2）∵b=-1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴=5（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶．点评：命题立意：此题是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决．4、某公司开发了某种新型电子产品，现投资50万元用于该电子产品的广告促销．已知该电子产品的本地销量y1(万台)与本地广告费x(万元)函数关系为；该电子产品的外地销量y2(万台)与外地广告费x(万元)的关系可用如图所示的抛物线和线段AB表示．其中A为抛物线的顶点．(1)写出该电子产品的外地销量y2(万台)与外地广告费x(万元)的函数关系；(2)求该电子产品的销售总量y(万台)与外地广告费x(万元)之间的函数关系；(3)如何安排广告费才能使销售总量最大？答案：分析：（1）分段求函数关系式：当0≤x≤30时，设抛物线的顶点式y2=a（x-30）2+140，然后把点（0，50）代入计算可得到a=-；当30＜x≤50，y2是常函数；（2）设外地广告费为x万元，则本地广告费为（50-x）万元，利用本地广告费的变化情况可分三段讨论函数关系式：当0≤x≤20，y=y1+y2=2（50-x）+45-x2+6x+50=-x2+4x+195，当20＜x≤30，y=y1+y2=3（50-x）-x2+6x+50=-x2+3x+200，当30＜x≤50，y=y1+y2=3（50-x）+140=-3x+290；（注意y1的变量为50-x）（3）分别利用配方法和一次函数的性质求出（2）中三段函数中函数取最大值时的x的值，然后确定广告费的分配．解答：解：（1）当0≤x≤30时，抛物线的解析式为y2=a（x-30）2+140，把（0，50）代入得a×（0-30）2+140=50，解得a=-，∴y2=-（x-30）2+140=-x2+6x+50，当30＜x≤50，y2=140，∴外地销量y2（万台）与外地广告费x（万元）的函数关系为y2=；（2）设外地广告费为x万元，则本地广告费为（50-x）万元，由于0≤50-x≤30，则20≤x≤50；30≤50-x≤50，则0≤x≤20，当0≤x≤20，y=y1+y2=2（50-x）+45-x2+6x+50=-x2+4x+195，当20＜x≤30，y=y1+y2=3（50-x）-x2+6x+50=-x2+3x+200，当30＜x≤50，y=y1+y2=3（50-x）+140=-3x+290，即y=；（3）当0≤x≤20，y=-x2+4x+195=-（x-20）2+235，x=20，y最大值为235；当20＜x≤30，y=-x2+3x+200=-（x-15）2+222.5，y最大值小于222.5；当30＜x≤50，y=-3x+290，x=30，y=-90+290=200，即y的最大值小于200，所以当x=20时，y最大，50-x=30，即本地广告费30万元，外地20万元．点评：本题考查了二次函数的应用：先利用待定系数法或实际问题中的数量关系求出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质讨论最值问题．也考查了一次函数的应用．